Utilize coordenadas cilíndricas. Determine o volume da região limitada pelos parabolóides
Passo 1
Vamos entender o enunciado do exercício. Precisamos calcular o volume da região que está entre dois parabolóides: o primeiro é e o segundo é . O conteúdo que estamos estudando aqui é geometria analítica, mais especificamente, volumes em coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar transformar as equações dos parabolóides para coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas, coordenadas se tornam , onde é a distância do ponto ao eixo e o ângulo em relação ao eixo . Também vamos precisar da fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas, que é .
Passo 2
Começamos substituindo e nas equações dos parabolóides pelas suas equivalentes em coordenadas cilíndricas. Assim, temos:
Para o primeiro parabolóide:
Portanto, o primeiro parabolóide se torna .
Para o segundo parabolóide:
Assim, o segundo parabolóide se torna .
Passo 3
Agora sabemos que queremos calcular o volume entre as superfícies e . Precisamos primeiro encontrar os valores de onde essas superfícies se intersecionam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, varia de até .
Agora, precisamos integrar para encontrar o volume. O volume será: