Utilize coordenadas cilíndricas. Determine o volume da região E limitada pelos parabolóides z=x^2+y^2 e z= 36-3 x^2-3 y^2

Passo 1

Vamos entender o enunciado do exercício. Precisamos calcular o volume da região E que está entre dois parabolóides: o primeiro é z = x^2 + y^2 e o segundo é z = 36 - 3x^2 - 3y^2. O conteúdo que estamos estudando aqui é geometria analítica, mais especificamente, volumes em coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar transformar as equações dos parabolóides para coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas, coordenadas (x, y, z) se tornam (r cos theta, r sin theta, z), onde r é a distância do ponto ao eixo z e theta o ângulo em relação ao eixo x. Também vamos precisar da fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas, que é V = integral integral r , dz , dr , dtheta.

Passo 2

Começamos substituindo x e y nas equações dos parabolóides pelas suas equivalentes em coordenadas cilíndricas. Assim, temos:
  • Para o primeiro parabolóide:
z = x^2 + y^2 = r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2
Portanto, o primeiro parabolóide se torna z = r^2.
  • Para o segundo parabolóide:
z = 36 - 3x^2 - 3y^2 = 36 - 3(r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta) = 36 - 3r^2(cos^2 theta + sin^2 theta) = 36 - 3r^2
Assim, o segundo parabolóide se torna z = 36 - 3r^2.

Passo 3

Agora sabemos que queremos calcular o volume entre as superfícies z = r^2 e z = 36 - 3r^2. Precisamos primeiro encontrar os valores de r onde essas superfícies se intersecionam. Para isso, igualamos as duas equações:
r^2 = 36 - 3r^2
Resolvendo essa equação:
r^2 + 3r^2 = 36 implies 4r^2 = 36 implies r^2 = 9 implies r = 3
Então, r varia de 0 até 3.
Agora, precisamos integrar para encontrar o volume. O volume V será:
V = integral0^2pi integral0^3 [(36 - 3r^2) - (r^2)] r , dr , dtheta
Simplificando a integral:
V = integral0^2pi integral0^3 (36 - 4r^2) r , dr , dtheta

Passo 4

Agora vamos resolver a integral em r:
V = integral0^2pi [ integral0^3 (36r - 4r^3) , dr ] dtheta
Calculando a integral em r:
integral (36r - 4r^3) , dr = 18r^2 - r^4 g|0^3
Substituindo os limites:
= 18(3^2) - (3^4) = 18(9) - (81) = 162 - 81 = 81
Agora, substituímos isso na integral em theta:
V = integral0^2pi 81 , dtheta = 81 cdot 2pi = 162pi

Resposta

O volume da região E é 162pi.

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