Calcule a integral integral triplaB f(x, y) d x d y onde: f(x, y, z)=sen(x+y-z)x+2 y+z e B é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) tais que 1 <= x+2 y+z <= 2,0 <= x+y-z <= pi4 e 0 <= z <= 1.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de sobre a região , definida pelas condições:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável que simplifica a expressão da função e os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma mudança de variável adequada. Observando os termos u = x + 2y + z e v = x + y - z presentes tanto na função quanto nos limites, vamos definir:
w = z
Essa mudança de variável simplifica a função e os limites de integração.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o Jacobiano dessa transformação para alterar as variáveis na integral. O Jacobiano é a matriz das derivadas parciais de x = u - v y = v - w z = w em relação a partial(x, y, z)partial(u, v, w) = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 :
J = 1 times (1 times 1 - (-1) times 0) - (-1) times (0 times 1 - (-1) times 0) + 0 times (0 times 0 - 1 times 0) = 1
Calculando as derivadas parciais:

[
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} =


]
Calculando o determinante dessa matriz:
Portanto, o valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função f(x, y, z) = sin(v)u em termos das novas variáveis:
integral triplaB sin(v)u , dx , dy , dz = integral triplaB' sin(v)u times |J| , du , dv , dw = integral triplaB' sin(v)u , du , dv , dw
Com a mudança de variável, a integral tripla fica:

Passo 5

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de :
  • De
  • De
  • De
Notice que os limites para já estão isolados e não dependem de ou , o que simplifica nossa integral.

Passo 6

A integral agora fica separada em três integrais simples:
integralw=0^1 integralv=0^pi4 integralu=1^2 sin(v)u , du , dv , dw
Podemos resolver as integrais uma de cada vez.

Passo 7

Primeiro, vamos resolver a integral em relação a integralu=1^2 1u , du = ln(u) |1^2 = ln(2) - ln(1) = ln(2) :
Como , restou apenas .

Passo 8

Agora, substituímos o resultado na integral e solucionamos a integral em relação a integralv=0^pi4 sin(v) , dv = -cos(v) |0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22 :

Passo 9

Por último, resolvemos a integral em relação a integralw=0^1 dw = 1 - 0 = 1 :

Passo 10

Agora, juntando todos os resultados:
Integral = ln(2) times (1 - raiz22) times 1 = ln(2) (1 - raiz22)

Resposta

A integral avaliada é .

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