Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos tais que e .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de sobre a região , definida pelas condições:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável que simplifica a expressão da função e os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma mudança de variável adequada. Observando os termos e presentes tanto na função quanto nos limites, vamos definir:
Essa mudança de variável simplifica a função e os limites de integração.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o Jacobiano dessa transformação para alterar as variáveis na integral. O Jacobiano é a matriz das derivadas parciais de em relação a :
Calculando as derivadas parciais:
[
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} =
]
Calculando o determinante dessa matriz:
Portanto, o valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função em termos das novas variáveis:
Com a mudança de variável, a integral tripla fica:
Passo 5
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de :
De
De
De
Notice que os limites para já estão isolados e não dependem de ou , o que simplifica nossa integral.
Passo 6
A integral agora fica separada em três integrais simples:
Podemos resolver as integrais uma de cada vez.
Passo 7
Primeiro, vamos resolver a integral em relação a :
Como , restou apenas .
Passo 8
Agora, substituímos o resultado na integral e solucionamos a integral em relação a :