Calcule
, onde
é o conjunto
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é o conjunto definido por
e
. Isso envolve conhecimento de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas e geometria dos sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
representa um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimentos 2, 3 e 1 nas direções x, y e z, respectivamente. Além disso, temos a condição
, o que significa que estamos considerando apenas a metade desse elipsoide no lado negativo do eixo x.
Passo 3
Para calcular a integral tripla, é útil mudar para coordenadas elipsoidais ou, mais facilmente, escalares que transformem o elipsoide em uma esfera. Vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a geometria:
Com essa mudança, a equação do elipsoide fica:
Isso é uma esfera de raio 1 no espaço
.
Passo 4
Precisamos também ajustar os limites de integração e o diferencial de volume
. Com a mudança de variáveis que fizemos, temos:
Portanto, o diferencial de volume transforma-se em:
Passo 5
Agora, expressamos a função a ser integrada
em termos das novas variáveis:
Portanto, a integral original fica:
Passo 6
Observamos que a função a ser integrada é
, e a região de integração é a metade da esfera onde
. Por simetria, sabemos que a integral de
sobre uma esfera completa é zero, pois valores positivos e negativos de
se cancelam. Mas como estamos integralizando apenas a metade onde
, esperamos um valor negativo.
Passo 7
Para calcular a integral, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o diferencial de volume é:
Como estamos integrando sobre a metade onde
, isso corresponde a
variando de
a
.
Passo 8
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:
Passo 9
Calculando cada parte:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 10
Vendo que a integral em
resultou em zero, percebemos que:
Isso confirma a simetria mencionada anteriormente.
Passo 11
Porém, lembrando que estamos integrando apenas a metade da esfera onde
, mas a função
é ímpar em relação ao eixo
. Assim, a integral sobre essa região será metade de zero, ou seja, zero.
Resposta
A integral tripla
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é o conjunto
;
Calcule
, onde
é o conjunto
.
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
© (Reginaldo)
© (Reginaldo)