Calcule , onde é o conjunto ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o conjunto definido por e . Isso envolve conhecimento de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas e geometria dos sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimentos 2, 3 e 1 nas direções x, y e z, respectivamente. Além disso, temos a condição , o que significa que estamos considerando apenas a metade desse elipsoide no lado negativo do eixo x.

Passo 3

Para calcular a integral tripla, é útil mudar para coordenadas elipsoidais ou, mais facilmente, escalares que transformem o elipsoide em uma esfera. Vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a geometria:
Com essa mudança, a equação do elipsoide fica:
Isso é uma esfera de raio 1 no espaço .

Passo 4

Precisamos também ajustar os limites de integração e o diferencial de volume . Com a mudança de variáveis que fizemos, temos:
Portanto, o diferencial de volume transforma-se em:

Passo 5

Agora, expressamos a função a ser integrada em termos das novas variáveis:
Portanto, a integral original fica:

Passo 6

Observamos que a função a ser integrada é , e a região de integração é a metade da esfera onde . Por simetria, sabemos que a integral de sobre uma esfera completa é zero, pois valores positivos e negativos de se cancelam. Mas como estamos integralizando apenas a metade onde , esperamos um valor negativo.

Passo 7

Para calcular a integral, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o diferencial de volume é:
Como estamos integrando sobre a metade onde , isso corresponde a variando de a .

Passo 8

Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:

Passo 9

Calculando cada parte:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Passo 10

Vendo que a integral em resultou em zero, percebemos que:
Isso confirma a simetria mencionada anteriormente.

Passo 11

Porém, lembrando que estamos integrando apenas a metade da esfera onde , mas a função é ímpar em relação ao eixo . Assim, a integral sobre essa região será metade de zero, ou seja, zero.

Resposta

A integral tripla é igual a .

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