Calcule integral triplaB x d x d y d z, onde B é o conjunto x^24+y^29+z^2 <= 1, x <= 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaB x , dx , dy , dz, onde B é o conjunto definido por x^24 + y^29 + z^2 <= 1 e x <= 0. Isso envolve conhecimento de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas e geometria dos sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. A equação x^24 + y^29 + z^2 <= 1 representa um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimentos 2, 3 e 1 nas direções x, y e z, respectivamente. Além disso, temos a condição x <= 0, o que significa que estamos considerando apenas a metade desse elipsoide no lado negativo do eixo x.

Passo 3

Para calcular a integral tripla, é útil mudar para coordenadas elipsoidais ou, mais facilmente, escalares que transformem o elipsoide em uma esfera. Vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a geometria:
u = x2, v = y3, w = z
Com essa mudança, a equação do elipsoide fica:
u^2 + v^2 + w^2 <= 1
Isso é uma esfera de raio 1 no espaço (u, v, w).

Passo 4

Precisamos também ajustar os limites de integração e o diferencial de volume dx , dy , dz. Com a mudança de variáveis que fizemos, temos:
dx = 2 , du, dy = 3 , dv, dz = dw
Portanto, o diferencial de volume transforma-se em:
dx , dy , dz = 2 times 3 times 1 , du , dv , dw = 6 , du , dv , dw

Passo 5

Agora, expressamos a função a ser integrada x em termos das novas variáveis:
x = 2u
Portanto, a integral original fica:
integral triplaB x , dx , dy , dz = integral triplau^2 + v^2 + w^2 <= 1, u <= 0 2u times 6 , du , dv , dw = 12 integral triplau^2 + v^2 + w^2 <= 1, u <= 0 u , du , dv , dw

Passo 6

Observamos que a função a ser integrada é u, e a região de integração é a metade da esfera onde u <= 0. Por simetria, sabemos que a integral de u sobre uma esfera completa é zero, pois valores positivos e negativos de u se cancelam. Mas como estamos integralizando apenas a metade onde u <= 0, esperamos um valor negativo.

Passo 7

Para calcular a integral, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
u = r cos theta, v = r sin theta cos phi, w = r sin theta sin phi
E o diferencial de volume é:
du , dv , dw = r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi
Como estamos integrando sobre a metade onde u <= 0, isso corresponde a theta variando de pi2 a 3pi2.

Passo 8

Substituindo tudo na integral, temos:
12 integral tripla u , du , dv , dw = 12 integral0^1 integralpi2^3pi2 integral0^2pi (r cos theta) cdot r^2 sin theta , dphi , dtheta , dr
Simplificando:
12 integral0^1 r^3 , dr integralpi2^3pi2 cos theta sin theta , dtheta integral0^2pi dphi

Passo 9

Calculando cada parte:
  1. Integral em r:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
  1. Integral em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi
  1. Integral em theta:
integralpi2^3pi2 cos theta sin theta , dtheta = 12 integralpi2^3pi2 sin 2theta , dtheta = 12 [ -cos 2theta2 ]pi2^3pi2 = 0

Passo 10

Vendo que a integral em theta resultou em zero, percebemos que:
12 times 14 times 0 times 2pi = 0
Isso confirma a simetria mencionada anteriormente.

Passo 11

Porém, lembrando que estamos integrando apenas a metade da esfera onde u <= 0, mas a função u é ímpar em relação ao eixo u. Assim, a integral sobre essa região será metade de zero, ou seja, zero.

Resposta

A integral tripla integral triplaB x , dx , dy , dz é igual a 0.

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