Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
© (Reginaldo)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você trouxe:
Esse tipo de equação é conhecida como Equação de Bernoulli, que é uma equação não linear devido ao termo
. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que transforma essa equação não linear em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, identifique os componentes da Equação de Bernoulli na nossa equação:
Comparando com a nossa equação:
Agora, para transformar essa equação em uma linear, vamos fazer a substituição:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Agora, substituímos
da equação original:
Então:
Mas como
, substituímos:
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Passo 4
Para resolver essa equação linear, usamos um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando:
Isso se reescreve como:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda é simplesmente
. Para a integral à direita, usamos a integração por partes:
Então:
Passo 6
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Calcule
, onde
é o conjunto
;
Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
(f) (Reginaldo)
(f) (Reginaldo)
(Reginaldo)
(a) Resolva o problema de valor inicial:
(a) Resolva o problema de valor inicial: