Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
© (Reginaldo) y' + 4/x y = -x^5 e^x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você trouxe:
Esse tipo de equação é conhecida como Equação de Bernoulli, que é uma equação não linear devido ao termo . Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que transforma essa equação não linear em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, identifique os componentes da Equação de Bernoulli na nossa equação:
Comparando com a nossa equação:
Agora, para transformar essa equação em uma linear, vamos fazer a substituição:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Agora, substituímos da equação original:
Então:
Mas como , substituímos:
Agora, temos uma equação linear em termos de :

Passo 4

Para resolver essa equação linear, usamos um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela :
Simplificando:
Isso se reescreve como:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral à esquerda é simplesmente . Para a integral à direita, usamos a integração por partes:
Então:

Passo 6

Resolvendo para :
Lembrando que , então:
Podemos fatorar :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

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