Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
lim (x, y) (0,0) x sin 1y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve os conceitos de limites em funções de duas variáveis e o comportamento das funções trigonométricas. Vamos precisar entender como o seno se comporta e como ele interage com o termo quando ambos estão indo para zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com -1 <= sin 1y <= 1 quando se aproxima de zero. O seno de qualquer número está sempre entre e , ou seja:
Isso significa que, independente de como se aproxima de zero, nunca vai ultrapassar esses limites.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por - |x| <= x sin 1y <= |x| . Sabendo que está se aproximando de zero, temos:
Isso nos mostra que o valor de está sempre entre e .

Passo 4

Como está se aproximando de zero, tanto quanto também estão se aproximando de zero. Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Barreiras), se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então o limite da função no meio também é esse valor comum.

Passo 5

Aplicando o teorema, já que:
lim(x, y) to (0,0) -|x| = 0 e lim(x, y) to (0,0) |x| = 0
Então:
lim(x, y) to (0,0) x sin 1y = 0

Resposta

O limite existe e é igual a zero.

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