Calcule , onde é o conjunto ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular a integral tripla , onde é o conjunto definido por e . Isso significa que estamos integrando a função dentro de uma região que está entre duas esferas com raios 1 e 2, mas apenas na parte onde é negativo (ou seja, abaixo do plano ).
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para lidar com regiões esféricas. Vamos precisar saber como transformar as coordenadas cartesianas para esféricas e como expressar o volume nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano a partir do eixo .
  • é o ângulo a partir do eixo para baixo.
As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas.
Sabendo que , a integral fica:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
  1. varia entre 1 e 2, porque implica .
  2. varia de 0 a , cobrindo todo o círculo no plano .
  3. varia de a , já que corresponde aos ângulos abaixo do plano .
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Vamos fazer uma substituição simples: seja , então . Assim, a integral fica:

Passo 7

Por último, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, juntando tudo, temos:

Resposta

A integral tripla é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , onde é o conjunto .
Inverta a ordem de integração.
Calcule , onde é o conjunto ;
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir: