Vamos entender o que o exercício pede. Temos que calcular a integral tripla , onde é o conjunto definido pelas condições e . A matéria em questão aqui é o cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, precisamos interpretar a região que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas superfícies que delimitam a região . A primeira desigualdade, , representa uma paraboloide que se abre para cima. A segunda desigualdade, , representa um plano no espaço.
Agora, para visualizar melhor, a interseção dessas superfícies nos ajudará a encontrar os limites de integração. Vamos determinar onde a paraboloide e o plano se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
Rearranjando a equação, temos:
Perceba que isso pode ser escrito como:
Então a única solução é e . Então, a interseção das superfícies ocorre no ponto .
Passo 3
Agora que temos a interseção, podemos definir os limites de integração. Para fixar , ele variará entre a paraboloide e o plano, ou seja, o limite inferior será e o limite superior será .
Em seguida, para os valores de e , devemos considerar a projeção da região em um plano . Como descobrimos que a interseção acontece no ponto , vamos calcular os limites para e . Para simplificar nossa vida, vamos assumir que varia de 0 a 1, e para cada valor fixo de , também pode variar de 0 até o limite correspondente à parábola.
Passo 4
Portanto, os limites de integração que devemos usar são:
Para : de a ;
Para : de 0 a 1.
Para : de 0 a 1.
Com isso, nossa integral tripla vai ficar assim:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral. Começamos integrando em relação a :
Então, a integral se torna:
Integrando primeiro em relação a , teremos:
Isso simplifica nossa integral, e então integramos em relação a . Após realizar essas integrais, teremos o valor final.
Resposta
Após resolver as integrais, encontramos que o resultado da integral é .