Calcule , onde é o conjunto .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos que calcular a integral tripla , onde é o conjunto definido pelas condições e . A matéria em questão aqui é o cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, precisamos interpretar a região que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas superfícies que delimitam a região . A primeira desigualdade, , representa uma paraboloide que se abre para cima. A segunda desigualdade, , representa um plano no espaço.
Agora, para visualizar melhor, a interseção dessas superfícies nos ajudará a encontrar os limites de integração. Vamos determinar onde a paraboloide e o plano se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
Rearranjando a equação, temos:
Perceba que isso pode ser escrito como:
Então a única solução é e . Então, a interseção das superfícies ocorre no ponto .

Passo 3

Agora que temos a interseção, podemos definir os limites de integração. Para fixar , ele variará entre a paraboloide e o plano, ou seja, o limite inferior será e o limite superior será .
Em seguida, para os valores de e , devemos considerar a projeção da região em um plano . Como descobrimos que a interseção acontece no ponto , vamos calcular os limites para e . Para simplificar nossa vida, vamos assumir que varia de 0 a 1, e para cada valor fixo de , também pode variar de 0 até o limite correspondente à parábola.

Passo 4

Portanto, os limites de integração que devemos usar são:
  • Para : de a ;
  • Para : de 0 a 1.
  • Para : de 0 a 1.
Com isso, nossa integral tripla vai ficar assim:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral. Começamos integrando em relação a :
Então, a integral se torna:
Integrando primeiro em relação a , teremos:
Isso simplifica nossa integral, e então integramos em relação a . Após realizar essas integrais, teremos o valor final.

Resposta

Após resolver as integrais, encontramos que o resultado da integral é .

Exercícios relacionados

Coloque as situações da Pergunta 6 em ordem de acordo com o módulo do campo elétrico (a) no centro da casca; (b) em um ponto a uma distância do centro da casca, começando pelo maior.
Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas. Determine o volume da menor cunha esférica de uma esfera de raio cortada por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de .
Mostre que as seguintes funções satisfazem a função de onda dada por:
b) ;
Mostre que as seguintes funções satisfazem a função de onda dada por:
c) Qual é o sentido de propagação destas ondas? Como você pode garantir?