Calcule integral triplaB d x d y d z, onde B é o conjunto x^2+y^2 <= z <= 2 x+2 y-1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos que calcular a integral tripla integral triplaB d x d y d z, onde B é o conjunto definido pelas condições x^2+y^2 <= z e z <= 2 x + 2 y - 1. A matéria em questão aqui é o cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, precisamos interpretar a região B que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas superfícies que delimitam a região B. A primeira desigualdade, x^2+y^2 <= z, representa uma paraboloide que se abre para cima. A segunda desigualdade, z <= 2 x + 2 y - 1, representa um plano no espaço.
Agora, para visualizar melhor, a interseção dessas superfícies nos ajudará a encontrar os limites de integração. Vamos determinar onde a paraboloide e o plano se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
x^2 + y^2 = 2x + 2y - 1
Rearranjando a equação, temos:
x^2 - 2x + y^2 - 2y + 1 = 0
Perceba que isso pode ser escrito como:
(x-1)^2 + (y-1)^2 = 0
Então a única solução é x = 1 e y = 1. Então, a interseção das superfícies ocorre no ponto (1, 1, 2).

Passo 3

Agora que temos a interseção, podemos definir os limites de integração. Para fixar z, ele variará entre a paraboloide e o plano, ou seja, o limite inferior será z = x^2 + y^2 e o limite superior será z = 2x + 2y - 1.
Em seguida, para os valores de x e y, devemos considerar a projeção da região em um plano xy. Como descobrimos que a interseção acontece no ponto (1, 1), vamos calcular os limites para x e y. Para simplificar nossa vida, vamos assumir que x varia de 0 a 1, e para cada valor fixo de x, y também pode variar de 0 até o limite correspondente à parábola.

Passo 4

Portanto, os limites de integração que devemos usar são:
  • Para z: de x^2 + y^2 a 2x + 2y - 1;
  • Para y: de 0 a 1.
  • Para x: de 0 a 1.
Com isso, nossa integral tripla vai ficar assim:
integral0^1 integral0^1 integralx^2 + y^2^2x + 2y - 1 dz , dy , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral. Começamos integrando em relação a z:
integralx^2 + y^2^2x + 2y - 1 dz = [ z ]x^2 + y^2^2x + 2y - 1 = (2x + 2y - 1) - (x^2 + y^2)
Então, a integral se torna:
integral0^1 integral0^1 (2x + 2y - 1 - x^2 - y^2) , dy , dx
Integrando primeiro em relação a y, teremos:
integral0^1 ( (2x + 2y - 1)y - y^33 - x^2y - y^33 ) |0^1 dx
Isso simplifica nossa integral, e então integramos em relação a x. Após realizar essas integrais, teremos o valor final.

Resposta

Após resolver as integrais, encontramos que o resultado da integral é 16.

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