Mostre que as seguintes funções satisfazem a função de onda dada por:
partial^2 y(x, t)partial x^2=1v^2 partial^2 y(x, t)partial t^2
b) y(x, t)=A cos (omega t+k x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função partial^2 y(x, t)partial x^2 = 1v^2 partial^2 y(x, t)partial t^2 satisfaz a equação da onda:
Esse exercício é da área de Física, mais especificamente de Equações Diferenciais Aplicadas à Ondulatória. Vamos precisar calcular as segundas derivadas da função em relação a e e ver se elas se relacionam conforme a equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de partial ypartial x = -A k sin(omega t + k x) em relação a partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 cos(omega t + k x) . A função é . Lembre-se que a derivada da função cosseno é -seno, e a cadeia de derivação nos obriga a multiplicar pelo coeficiente interno.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial ypartial t = -A omega sin(omega t + k x) em relação a partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 cos(omega t + k x) .

Passo 4

Vamos substituir as segundas derivadas na equação da onda para ver se a igualdade é satisfeita.
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 cos(omega t + k x)
1v^2 partial^2 ypartial t^2 = 1v^2 (-A omega^2 cos(omega t + k x)) = -A omega^2v^2 cos(omega t + k x)

Passo 5

Agora, igualamos as duas expressões obtidas:
-A k^2 cos(omega t + k x) = -A omega^2v^2 cos(omega t + k x)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por k^2 = omega^2v^2 (desde que omega = v k e ):
Isso nos leva à relação fundamental das ondas:

Resposta

Portanto, a função satisfaz a equação da onda quando a frequência angular e o número de onda estão relacionados por .

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