Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas. Determine o volume da menor cunha esférica de uma esfera de raio a cortada por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de pi6.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos uma esfera de raio a e precisamos encontrar o volume de uma cunha esférica. Essa cunha é formada ao cortar a esfera por dois planos que se interceptam em um diâmetro, formando um ângulo de pi6. O conteúdo relacionado aqui envolve geometria e cálculo de volume em coordenadas esféricas. Para resolver, teremos que usar a fórmula do volume de uma cunha esférica e entender como ela se relaciona com o ângulo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma cunha esférica. É como uma fatia de uma esfera que é delimitada por dois planos. O volume da cunha esférica pode ser encontrado usando a fórmula:
V = 13 cdot h cdot A
onde h é a altura da cunha e A é a área da base. Para uma cunha esférica, a base é um setor circular e a altura é a distância do centro da esfera até a base da cunha.
Para encontrar h, considerando que o ângulo é pi6, nós percebemos que, em uma esfera, a altura da cunha pode ser dada por:
h = a cdot (1 - cos(theta2))
onde theta é o ângulo formado pelos planos, que neste caso é pi6. Portanto:
h = a cdot (1 - cos(pi12))
Agora, precisamos calcular cos(pi12). Usando a fórmula de coseno para ângulos menores:
cos(pi12) = cos(15^circ) = raiz6 + raiz24
Assim, substituindo na equação da altura, obtemos:
h = a cdot (1 - raiz6 + raiz24)

Passo 3

Agora que temos a altura, vamos calcular a área da base da cunha. Para isso, usamos a seguinte fórmula para a área de um setor circular:
A = 12 cdot r^2 cdot theta
onde r = a (o raio da esfera) e theta é o ângulo também em radianos, que é pi6:
A = 12 cdot a^2 cdot pi6 = pi a^212

Passo 4

Agora vamos juntar tudo na fórmula do volume. Substituímos h e A na fórmula do volume da cunha:
V = 13 cdot h cdot A = 13 cdot (a cdot (1 - raiz6 + raiz24)) cdot (pi a^212)
Simplificando isso, temos:
V = pi a^336 cdot (1 - raiz6 + raiz24)
Essa é a fórmula final para o volume da cunha esférica.

Resposta

V = pi a^336 (1 - raiz6 + raiz24)

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