Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas. Determine o volume da menor cunha esférica de uma esfera de raio
cortada por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de
.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos uma esfera de raio
e precisamos encontrar o volume de uma cunha esférica. Essa cunha é formada ao cortar a esfera por dois planos que se interceptam em um diâmetro, formando um ângulo de
. O conteúdo relacionado aqui envolve geometria e cálculo de volume em coordenadas esféricas. Para resolver, teremos que usar a fórmula do volume de uma cunha esférica e entender como ela se relaciona com o ângulo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma cunha esférica. É como uma fatia de uma esfera que é delimitada por dois planos. O volume da cunha esférica pode ser encontrado usando a fórmula:
onde
é a altura da cunha e
é a área da base. Para uma cunha esférica, a base é um setor circular e a altura é a distância do centro da esfera até a base da cunha.
Para encontrar
, considerando que o ângulo é
, nós percebemos que, em uma esfera, a altura da cunha pode ser dada por:
onde
é o ângulo formado pelos planos, que neste caso é
. Portanto:
Agora, precisamos calcular
. Usando a fórmula de coseno para ângulos menores:
Assim, substituindo na equação da altura, obtemos:
Passo 3
Agora que temos a altura, vamos calcular a área da base da cunha. Para isso, usamos a seguinte fórmula para a área de um setor circular:
onde
(o raio da esfera) e
é o ângulo também em radianos, que é
:
Passo 4
Agora vamos juntar tudo na fórmula do volume. Substituímos
e
na fórmula do volume da cunha:
Simplificando isso, temos:
Essa é a fórmula final para o volume da cunha esférica.
Resposta
Exercícios relacionados
O vetor área de uma superfície é
. Qual é o fluxo de um campo elétrico através dessa superfície se o campo é (a)
;(b)
?
Calcule
, onde
é o conjunto
e
.
Coloque as situações da Pergunta 6 em ordem de acordo com o módulo do campo elétrico (a) no centro da casca; (b) em um ponto a uma distância
do centro da casca, começando pelo maior.
Calcule
, onde
é o conjunto
.