Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas. Determine o volume da menor cunha esférica de uma esfera de raio cortada por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de .

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos uma esfera de raio e precisamos encontrar o volume de uma cunha esférica. Essa cunha é formada ao cortar a esfera por dois planos que se interceptam em um diâmetro, formando um ângulo de . O conteúdo relacionado aqui envolve geometria e cálculo de volume em coordenadas esféricas. Para resolver, teremos que usar a fórmula do volume de uma cunha esférica e entender como ela se relaciona com o ângulo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma cunha esférica. É como uma fatia de uma esfera que é delimitada por dois planos. O volume da cunha esférica pode ser encontrado usando a fórmula:
onde é a altura da cunha e é a área da base. Para uma cunha esférica, a base é um setor circular e a altura é a distância do centro da esfera até a base da cunha.
Para encontrar , considerando que o ângulo é , nós percebemos que, em uma esfera, a altura da cunha pode ser dada por:
onde é o ângulo formado pelos planos, que neste caso é . Portanto:
Agora, precisamos calcular . Usando a fórmula de coseno para ângulos menores:
Assim, substituindo na equação da altura, obtemos:

Passo 3

Agora que temos a altura, vamos calcular a área da base da cunha. Para isso, usamos a seguinte fórmula para a área de um setor circular:
onde (o raio da esfera) e é o ângulo também em radianos, que é :

Passo 4

Agora vamos juntar tudo na fórmula do volume. Substituímos e na fórmula do volume da cunha:
Simplificando isso, temos:
Essa é a fórmula final para o volume da cunha esférica.

Resposta

Exercícios relacionados

O vetor área de uma superfície é . Qual é o fluxo de um campo elétrico através dessa superfície se o campo é (a) ;(b) ?
Calcule , onde é o conjunto e .
Coloque as situações da Pergunta 6 em ordem de acordo com o módulo do campo elétrico (a) no centro da casca; (b) em um ponto a uma distância do centro da casca, começando pelo maior.
Calcule , onde é o conjunto .