Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos tais que e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla , onde a função é dada por . A região está definida pelas desigualdades , e . Nosso objetivo é entender como configurar e resolver essa integral usando cálculo integral em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos três variáveis: , e . A restrição define que varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de 0 até ( ). E, para cada par , varia de 0 até .

Passo 3

Vamos configurar a integral tripla seguindo a ordem das integrais: primeiro em , depois em e por último em . Assim, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a . Para isso, fazemos a substituição , o que implica ou . Quando , e quando , . Portanto, a integral em fica:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral em na integral dupla restante:
Podemos tirar o fator para fora da integral:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral em . Vamos fazer a substituição , então . No entanto, essa substituição não simplifica facilmente a integral. Em vez disso, podemos usar uma abordagem de mudança para coordenadas polares, já que a expressão sugere essa possibilidade.

Passo 7

Vamos mudar para coordenadas polares onde e . Nesse caso, e o elemento de área vira .
As restrições da região se transformam em:
Isso simplifica a integral para:
Simplificando , temos:

Passo 8

Vamos resolver a integral em :
Substituindo de volta:

Passo 9

A integral de pode ser resolvida por integração por partes ou utilizando fórmulas conhecidas. O resultado dessa integral é:
Seguindo esse processo e avaliando entre e , obtemos:
Após simplificar e calcular os valores, chegamos ao resultado final.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral tripla é igual a . Simplificando, obtemos:

Exercícios relacionados

Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva.
d)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) e , então
Para cada afirmação abaixo, determine se é verdadeira ou falsa:
a) O conjunto não possui nem supremo nem ínfimo.
Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).