Calcule a integral integral triplaB f(x, y) d x d y onde: f(x, y, z)=raizx^2+y^2-z e B é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) tais que 0 <= y <= x, 0 <= x <= 1 e 0 <= z <= x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaB f(x, y, z) , dx , dy , dz, onde a função f(x, y, z) é dada por raizx^2 + y^2 - z. A região B está definida pelas desigualdades 0 <= y <= x, 0 <= x <= 1 e 0 <= z <= x^2 + y^2. Nosso objetivo é entender como configurar e resolver essa integral usando cálculo integral em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos três variáveis: x, y e z. A restrição 0 <= x <= 1 define que x varia de 0 a 1. Para cada valor de x, y varia de 0 até x ( 0 <= y <= x). E, para cada par (x, y), z varia de 0 até x^2 + y^2.

Passo 3

Vamos configurar a integral tripla seguindo a ordem das integrais: primeiro em z, depois em y e por último em x. Assim, nossa integral fica:
integral0^1 integral0^x integral0^x^2 + y^2 raizx^2 + y^2 - z , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a z. Para isso, fazemos a substituição u = x^2 + y^2 - z, o que implica du = -dz ou dz = -du. Quando z = 0, u = x^2 + y^2 e quando z = x^2 + y^2, u = 0. Portanto, a integral em z fica:
integral0^x^2 + y^2 raizx^2 + y^2 - z , dz = integralx^2 + y^2^0 raizu , (-du) = integral0^x^2 + y^2 raizu , du
A integral de raizu em relação a u é:
integral raizu , du = 23 u^3/2
Aplicando os limites de integração:
23 (x^2 + y^2)^3/2 - 23 (0)^3/2 = 23 (x^2 + y^2)^3/2

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral em z na integral dupla restante:
integral0^1 integral0^x 23 (x^2 + y^2)^3/2 , dy , dx
Podemos tirar o fator 23 para fora da integral:
23 integral0^1 integral0^x (x^2 + y^2)^3/2 , dy , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral em y. Vamos fazer a substituição v = x^2 + y^2, então dv = 2y , dy. No entanto, essa substituição não simplifica facilmente a integral. Em vez disso, podemos usar uma abordagem de mudança para coordenadas polares, já que a expressão x^2 + y^2 sugere essa possibilidade.

Passo 7

Vamos mudar para coordenadas polares onde x = r costheta e y = r sintheta. Nesse caso, x^2 + y^2 = r^2 e o elemento de área dy , dx vira r , dr , dtheta.
As restrições da região B se transformam em:
  • 0 <= r costheta <= 1
  • 0 <= r sintheta <= r costheta
  • 0 <= z <= r^2
Isso simplifica a integral para:
23 integral0^pi4 integral0^1costheta (r^2)^3/2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando (r^2)^3/2 = r^3, temos:
23 integral0^pi4 integral0^1costheta r^4 , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral em r:
integral0^1costheta r^4 , dr = [ r^55 ]0^1costheta = 15 ( 1costheta )^5 = 15 sec^5theta
Substituindo de volta:
23 cdot 15 integral0^pi4 sec^5theta , dtheta = 215 integral0^pi4 sec^5theta , dtheta

Passo 9

A integral de sec^5theta pode ser resolvida por integração por partes ou utilizando fórmulas conhecidas. O resultado dessa integral é:
integral sec^5theta , dtheta = sec^3theta tantheta4 + 34 integral sec^3theta , dtheta
Seguindo esse processo e avaliando entre 0 e pi4, obtemos:
215 [ sec^3theta tantheta4 + 34 cdot sectheta tantheta + ln|sectheta + tantheta|2 ]0^pi4
Após simplificar e calcular os valores, chegamos ao resultado final.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral tripla é igual a 215 ( raiz2^3 cdot 1 + 32 cdot (raiz2 + ln(1+raiz2)) ). Simplificando, obtemos:
integral triplaB raizx^2 + y^2 - z , dx , dy , dz = 215 ( 2raiz2 + 32 (raiz2 + ln(1+raiz2)) )

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