Calcule a integral
onde:
e
é o conjunto de todos os pontos
tais que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla
, onde a função
é dada por
. A região
está definida pelas desigualdades
,
e
. Nosso objetivo é entender como configurar e resolver essa integral usando cálculo integral em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos três variáveis:
,
e
. A restrição
define que
varia de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de 0 até
(
). E, para cada par
,
varia de 0 até
.
Passo 3
Vamos configurar a integral tripla seguindo a ordem das integrais: primeiro em
, depois em
e por último em
. Assim, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Para isso, fazemos a substituição
, o que implica
ou
. Quando
,
e quando
,
. Portanto, a integral em
fica:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral em
na integral dupla restante:
Podemos tirar o fator
para fora da integral:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral em
. Vamos fazer a substituição
, então
. No entanto, essa substituição não simplifica facilmente a integral. Em vez disso, podemos usar uma abordagem de mudança para coordenadas polares, já que a expressão
sugere essa possibilidade.
Passo 7
Vamos mudar para coordenadas polares onde
e
. Nesse caso,
e o elemento de área
vira
.
As restrições da região
se transformam em:
Isso simplifica a integral para:
Simplificando
, temos:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
:
Substituindo de volta:
Passo 9
A integral de
pode ser resolvida por integração por partes ou utilizando fórmulas conhecidas. O resultado dessa integral é:
Seguindo esse processo e avaliando entre
e
, obtemos:
Após simplificar e calcular os valores, chegamos ao resultado final.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral tripla é igual a
. Simplificando, obtemos:
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Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva.
d)
d)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) e
, então
b)
Para cada afirmação abaixo, determine se é verdadeira ou falsa:
a) O conjunto não possui nem supremo nem ínfimo.
a) O conjunto
Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).