Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que as funções e são linearmente independentes usando o Wronskiano. Isso envolve entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência linear das funções. Vamos precisar calcular o Wronskiano dessas funções e ver se ele é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas das funções e .
Para :
E para :

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:
Calculando o determinante dessa matriz:
Simplificando os termos:

Passo 4

Para que as funções e sejam linearmente independentes, o Wronskiano precisa ser diferente de zero. Observando a expressão do Wronskiano:
Isso será diferente de zero se:
  1. (para garantir que )
  2. (para evitar que )

Resposta

As funções e são linearmente independentes, já que o Wronskiano é diferente de zero quando e .

Exercícios relacionados

Para cada afirmação abaixo, determine se é verdadeira ou falsa:
a) O conjunto não possui nem supremo nem ínfimo.
Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos tais que e
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
c)
Em uma certa montanha, a elevação acima de um ponto em um plano ao nível do mar é dada por , onde e estão em metros. O eixo positivo aponta para o leste e o eixo positivo aponta para o norte. Um alpinista está no ponto (-20, 5, 1991).
Se o alpinista usar uma bússola para caminhar para oeste, ele começará a subir ou a descer?