Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que as funções e são linearmente independentes usando o Wronskiano. Isso envolve entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência linear das funções. Vamos precisar calcular o Wronskiano dessas funções e ver se ele é diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas das funções e .
Para :
E para :
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:
Calculando o determinante dessa matriz:
Simplificando os termos:
Passo 4
Para que as funções e sejam linearmente independentes, o Wronskiano precisa ser diferente de zero. Observando a expressão do Wronskiano:
Isso será diferente de zero se:
(para garantir que )
(para evitar que )
Resposta
As funções e são linearmente independentes, já que o Wronskiano é diferente de zero quando e .