Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O objetivo é calcular , onde é um cilindro definido por e . A gente vai precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar esse cálculo, já que lidamos com um cilindro e a expressão sugere essa mudança de coordenadas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço tridimensional usando três valores: , e . Aqui, é a distância do ponto ao eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura. A transformação fica assim:
Essa mudança é útil porque nosso domínio é um cilindro, o que torna os limites de integração mais simples.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. Lembrando que, ao mudar de coordenadas cartesianas para cilíndricas, o elemento de volume se transforma em . Além disso, a expressão se torna simplesmente . Então, a integral original fica:
Aqui, o primeiro é da expressão original, e o segundo vem do elemento de volume.
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
Começamos integrando em relação a . A integral de em de a é:
Passo 5
Agora, substituímos isso na integral e seguimos integrando em relação a :
A integral de em de a é:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a de a . Como o resultado anterior é uma constante em relação a , a integral fica: