Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O objetivo é calcular , onde é um cilindro definido por e . A gente vai precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar esse cálculo, já que lidamos com um cilindro e a expressão sugere essa mudança de coordenadas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço tridimensional usando três valores: , e . Aqui, é a distância do ponto ao eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura. A transformação fica assim:
Essa mudança é útil porque nosso domínio B é um cilindro, o que torna os limites de integração mais simples.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. Lembrando que, ao mudar de coordenadas cartesianas para cilíndricas, o elemento de volume dV se transforma em r , dr , dtheta , dz. Além disso, a expressão raizx^2+y^2 se torna simplesmente r. Então, a integral original fica:
integral triplaB raizx^2+y^2 , dx , dy , dz = integralz=0^1 integralr=0^1 integraltheta=0^2pi r cdot r , dtheta , dr , dz
Aqui, o primeiro r é da expressão original, e o segundo r vem do elemento de volume.
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
integralz=0^1 integralr=0^1 integraltheta=0^2pi r^2 , dtheta , dr , dz
Começamos integrando em relação a theta. A integral de r^2 em theta de 0 a 2pi é: