Calcule integral triplaB raizx^2+y^2 d x d y d z, onde B é o cilindro definido por x^2+y^2 <= 1 e 0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O objetivo é calcular integral triplaB raizx^2+y^2 , dx , dy , dz, onde B é um cilindro definido por x^2+y^2 <= 1 e 0 <= z <= 1. A gente vai precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar esse cálculo, já que lidamos com um cilindro e a expressão raizx^2+y^2 sugere essa mudança de coordenadas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço tridimensional usando três valores: r, theta e z. Aqui, r é a distância do ponto ao eixo z, theta é o ângulo em torno do eixo z, e z é a altura. A transformação fica assim:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
Essa mudança é útil porque nosso domínio B é um cilindro, o que torna os limites de integração mais simples.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. Lembrando que, ao mudar de coordenadas cartesianas para cilíndricas, o elemento de volume dV se transforma em r , dr , dtheta , dz. Além disso, a expressão raizx^2+y^2 se torna simplesmente r. Então, a integral original fica:
integral triplaB raizx^2+y^2 , dx , dy , dz = integralz=0^1 integralr=0^1 integraltheta=0^2pi r cdot r , dtheta , dr , dz
Aqui, o primeiro r é da expressão original, e o segundo r vem do elemento de volume.

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
integralz=0^1 integralr=0^1 integraltheta=0^2pi r^2 , dtheta , dr , dz
Começamos integrando em relação a theta. A integral de r^2 em theta de 0 a 2pi é:
integral0^2pi r^2 , dtheta = r^2 cdot theta |0^2pi = r^2 cdot 2pi = 2pi r^2

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral e seguimos integrando em relação a r:
integralz=0^1 integralr=0^1 2pi r^2 , dr , dz
A integral de 2pi r^2 em r de 0 a 1 é:
2pi integral0^1 r^2 , dr = 2pi ( r^33 ) |0^1 = 2pi ( 13 - 0 ) = 2pi3

Passo 6

Por fim, integramos em relação a z de 0 a 1. Como o resultado anterior é uma constante em relação a z, a integral fica:
integral0^1 2pi3 , dz = 2pi3 cdot z |0^1 = 2pi3 cdot (1 - 0) = 2pi3

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac2pi3.

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