Usando a definição de limite, mostre que: lim x -1(x^2-2 x+3)=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a definição de limite pra mostrar que quando se aproxima de , tende a 6. Vamos precisar entender a definição de limite e aplicar ela nessa função quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite. Diz que para todo , existe um tal que se , então . Aqui, e .

Passo 3

Nossa função é . Queremos mostrar que . Então, precisamos fazer .

Passo 4

Vamos calcular |x^2 - 2x + 3 - 6| = |x^2 - 2x - 3| :
Queremos que isso seja menor que .

Passo 5

Fatorando a expressão dentro do valor absoluto:
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
Então,
|x^2 - 2x - 3| = |x - 3||x + 1|

Passo 6

Queremos . Mas como está próximo de , vamos limitar , ou seja, . Assim, .

Passo 7

Então, temos:
|x - 3||x + 1| < 4|x + 1|
Queremos que isso seja menor que , então basta que .

Passo 8

Resolvendo para |x + 1| < varepsilon4 :
Então, podemos escolher .

Passo 9

Com essa escolha de , garantimos que sempre que , teremos , conforme a definição de limite.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que .

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