Calcule, , onde é o conjunto de todos tais que , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que é uma ferramenta da cálculo multivariável usada para encontrar volumes ou somatórios em regiões tridimensionais. No caso, a integral que vamos calcular é , onde é a região definida por , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está no espaço tridimensional com as variáveis , e . Os limites dados indicam que:
varia de 0 a 1.
Para cada valor de , varia de 0 a .
Para cada par , varia de 0 a .
Isso significa que estamos integrando sobre uma pirâmide onde vai de 0 a 1, está limitado por , e está limitado pela soma de e .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla com esses limites:
Aqui, integramos primeiro em relação a , depois , e por último .
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a :
Passo 5
Agora, integramos o resultado em relação a :
Calculando:
x^2 cdot x - x^2 cdot 0 + x cdot x^22 - x cdot 0^22 = x^3 + x^32 = 3x^32