Calcule, , onde é o conjunto de todos tais que , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que é uma ferramenta da cálculo multivariável usada para encontrar volumes ou somatórios em regiões tridimensionais. No caso, a integral que vamos calcular é , onde é a região definida por , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está no espaço tridimensional com as variáveis , e . Os limites dados indicam que:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 a .
  • Para cada par , varia de 0 a .
Isso significa que estamos integrando sobre uma pirâmide onde vai de 0 a 1, está limitado por , e está limitado pela soma de e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla com esses limites:
Aqui, integramos primeiro em relação a , depois , e por último .

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a :

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a :
Calculando:

Passo 6

Por último, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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