Calcule, integral triplaB x d x d y d z, onde B é o conjunto de todos (x, y, z) tais que 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x e 0 <= z <= x+y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que é uma ferramenta da cálculo multivariável usada para encontrar volumes ou somatórios em regiões tridimensionais. No caso, a integral que vamos calcular é integral triplaB x , dx , dy , dz, onde B é a região definida por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x e 0 <= z <= x+y. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região B. Ela está no espaço tridimensional com as variáveis x, y e z. Os limites dados indicam que:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de x, y varia de 0 a x.
  • Para cada par (x, y), z varia de 0 a x + y.
Isso significa que estamos integrando sobre uma pirâmide onde x vai de 0 a 1, y está limitado por x, e z está limitado pela soma de x e y.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla com esses limites:
integral triplaB x , dx , dy , dz = integralx=0^1 integraly=0^x integralz=0^x+y x , dz , dy , dx
Aqui, integramos primeiro em relação a z, depois y, e por último x.

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a z:
integralz=0^x+y x , dz = x integralz=0^x+y dz = x cdot (x + y - 0) = x(x + y) = x^2 + xy

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a y:
integraly=0^x (x^2 + xy) , dy = integraly=0^x x^2 , dy + integraly=0^x xy , dy = x^2 y |0^x + x cdot y^22 |0^x
Calculando:
x^2 cdot x - x^2 cdot 0 + x cdot x^22 - x cdot 0^22 = x^3 + x^32 = 3x^32

Passo 6

Por último, integramos em relação a x:
integralx=0^1 3x^32 , dx = 32 integralx=0^1 x^3 , dx = 32 cdot x^44 |0^1 = 32 cdot 14 = 38

Resposta

O valor da integral tripla é boxeddfrac38.

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