Calcule a massa do cilindro
, admitindo que a densidade seja dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a massa de um cilindro definido por
e
, sabendo que a densidade em cada ponto
é dada por
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais tripe, porque estamos lidando com uma função de densidade em três dimensões. Para resolver, vamos precisar configurar e calcular a integral tripla dessa densidade sobre o volume do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a massa de um objeto nesse contexto. A massa
é dada pela integral tripla da densidade
sobre todo o volume
do objeto. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso,
, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para o cilindro
e
. Como o cilindro tem simetria circular na base, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas,
,
e
. O elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Vamos reescrever a densidade
em coordenadas cilíndricas. Como
, temos:
Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 6
A próxima integral é em
. Sabemos que:
Então:
A primeira parte é
e a segunda parte é zero, pois a integral do cosseno em um período completo é zero. Então:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, resolvemos a última integral em
:
Portanto:
Resposta
A massa do cilindro é
.
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
d)
d)
Calcule,
, onde
é o conjunto de todos
tais que
,
e
.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
c)
c)
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.