Calcule a massa do cilindro , admitindo que a densidade seja dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a massa de um cilindro definido por e , sabendo que a densidade em cada ponto é dada por . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais tripe, porque estamos lidando com uma função de densidade em três dimensões. Para resolver, vamos precisar configurar e calcular a integral tripla dessa densidade sobre o volume do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a massa de um objeto nesse contexto. A massa é dada pela integral tripla da densidade sobre todo o volume do objeto. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, , então a fórmula fica:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para o cilindro e . Como o cilindro tem simetria circular na base, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, , e . O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos reescrever a densidade em coordenadas cilíndricas. Como , temos:
Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos resolver a integral em primeiro:
Agora, a integral fica:

Passo 6

A próxima integral é em . Sabemos que:
Então:
A primeira parte é e a segunda parte é zero, pois a integral do cosseno em um período completo é zero. Então:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, resolvemos a última integral em :
Portanto:

Resposta

A massa do cilindro é .

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d)
Calcule, , onde é o conjunto de todos tais que , e .
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c)
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.