Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais. Vamos precisar aplicar as propriedades das transformadas para derivadas e depois resolver para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada segunda
é:
E para a primeira derivada
:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituindo as transformadas das derivadas e sabendo que a transformada de zero é zero, temos:
Aqui,
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 4
Vamos distribuir os termos e agrupar os que têm
:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Então,
Passo 6
Vamos simplificar o denominador fatorando a expressão quadrática:
Então,
Podemos decompor essa fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Então,
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calcule,
, onde
é o conjunto de todos
tais que
,
e
.
Calcule a massa e o centro de massa de um semicírculo de raio
, sendo a densidade superficial no ponto
proporcional à distância do ponto ao centro do círculo.
Calcule a massa do cilindro
, admitindo que a densidade seja dada por
.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
c)
c)