Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais. Vamos precisar aplicar as propriedades das transformadas para derivadas e depois resolver para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada segunda é:
E para a primeira derivada :
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Substituindo as transformadas das derivadas e sabendo que a transformada de zero é zero, temos:
Aqui, é a Transformada de Laplace de .

Passo 4

Vamos distribuir os termos e agrupar os que têm :
Agrupando os termos com :

Passo 5

Agora, isolamos :
Então,

Passo 6

Vamos simplificar o denominador fatorando a expressão quadrática:
Então,
Podemos decompor essa fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Então,

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Calcule, , onde é o conjunto de todos tais que , e .
Calcule a massa e o centro de massa de um semicírculo de raio , sendo a densidade superficial no ponto proporcional à distância do ponto ao centro do círculo.
Calcule a massa do cilindro , admitindo que a densidade seja dada por .
Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
c)