Calcule a massa e o centro de massa de um semicírculo de raio , sendo a densidade superficial no ponto proporcional à distância do ponto ao centro do círculo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa e o centro de massa de um semicírculo de raio . A densidade superficial em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao centro do círculo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente integrais para massa e centro de massa em corpos contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está a densidade. A densidade superficial é proporcional à distância do ponto ao centro. Podemos escrever isso como:
onde é uma constante de proporcionalidade.

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa total do semicírculo. Para isso, precisamos integrar a densidade sobre toda a área do semicírculo. Em coordenadas polares, a área diferencial é . Então, a massa é:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos na integral externa:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa . Devido à simetria do semicírculo em relação ao eixo , sabemos que . Vamos calcular :
Em coordenadas polares, . Então:

Passo 6

Resolvemos a integral interna:
Substituindo na expressão de :
Lembrando que :

Resposta

A massa do semicírculo é e o centro de massa está localizado na posição .

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d)