Calcule a massa e o centro de massa de um semicírculo de raio
, sendo a densidade superficial no ponto
proporcional à distância do ponto ao centro do círculo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa e o centro de massa de um semicírculo de raio
. A densidade superficial em cada ponto
é proporcional à distância desse ponto ao centro do círculo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente integrais para massa e centro de massa em corpos contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como está a densidade. A densidade superficial
é proporcional à distância
do ponto ao centro. Podemos escrever isso como:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 3
Agora, vamos calcular a massa total
do semicírculo. Para isso, precisamos integrar a densidade sobre toda a área do semicírculo. Em coordenadas polares, a área diferencial é
. Então, a massa é:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa
. Devido à simetria do semicírculo em relação ao eixo
, sabemos que
. Vamos calcular
:
Em coordenadas polares,
. Então:
Passo 6
Resolvemos a integral interna:
Substituindo na expressão de
:
Lembrando que
:
Resposta
A massa do semicírculo é
e o centro de massa está localizado na posição
.
Exercícios relacionados
Encontre o fluxo do campo vetorial
ao longo da ircunferência
.
Verifique se o campo vetorial
é onservativo. Caso positivo, encontre a função potencial para
.
Calcule,
, onde
é o conjunto de todos
tais que
,
e
.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
d)
d)