Calcule. integral triplaB x d x d y d z onde B é o conjunto 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e x+y <= z <= x+y+1; (Dica: Escolha de maneira adequada a ordem de integração. A resposta é 1 / 2.)

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla integral triplaB x ,dx,dy,dz, onde a região B é definida por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 e x+y <= z <= x+y+1. Este exercício envolve o cálculo de integrais triplas em cálculo multivariável. Para resolver, precisamos escolher uma ordem de integração adequada que facilite os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável. Sabemos que x varia de 0 a 1 e, para cada valor de x, y também varia de 0 a 1. O limite inferior para z é x + y e o superior é x + y + 1.
Vamos escolher a ordem de integração dz,dy,dx. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a z, depois y e, por fim, x.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a z:
integralx+y^x+y+1 x ,dz
Aqui, x é constante em relação a z, então a integral fica:
x [ z ]x+y^x+y+1 = x ( (x + y + 1) - (x + y) ) = x cdot 1 = x

Passo 4

Agora, nossa integral se reduz a:
integral0^1 integral0^1 x ,dy,dx
Vamos integrar em relação a y:
integral0^1 ( integral0^1 x ,dy ) dx
Como x é constante em relação a y, a integral interna é:
integral0^1 x ,dy = x cdot y |0^1 = x cdot 1 - x cdot 0 = x

Passo 5

Agora, temos:
integral0^1 x ,dx
Integrando em relação a x:
12 x^2 |0^1 = 12 (1)^2 - 12 (0)^2 = 12 - 0 = 12

Resposta

12

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