Calcule a massa da esfera
supondo que a densidade no ponto
é igual à distância deste ponto à origem.
(Dica: A massa é
, sendo que a densidade é
(distância de
à origem). A região é
. As integrais podem ser resolvidas separadamente. A resposta é
.)
(Dica: A massa é
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma esfera definida por
, ou seja, uma esfera de raio 1 centrada na origem. A densidade em cada ponto
dessa esfera é igual à distância desse ponto até a origem. Nosso objetivo é calcular a massa dessa esfera usando conceitos de cálculo integral, especificamente integrais em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a densidade está definida. A densidade
em um ponto
é a distância desse ponto à origem. A fórmula para a distância até a origem é dada por:
Como estamos trabalhando com uma esfera de raio 1, essa distância varia de 0 a 1.
Passo 3
Para calcular a massa
da esfera, usamos a fórmula da massa em coordenadas cartesianas:
Aqui,
é a região da esfera onde
. Porém, resolver essa integral em coordenadas cartesianas pode ser complicado, então vamos mudar para coordenadas esféricas.
Passo 4
Nas coordenadas esféricas, os pontos são representados por
, onde:
-
é a distância até a origem, -
é o ângulo no plano xy, e -
é o ângulo em relação ao eixo z.
A vantagem das coordenadas esféricas é que a densidade
se torna simplesmente
, já que
.
Passo 5
A região
em coordenadas esféricas é definida por:
O volume diferencial em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 6
Substituindo a densidade e o volume diferencial na integral da massa, temos:
Isso simplifica para:
Passo 7
Vamos resolver as integrais uma por uma:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 8
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
A massa da esfera é
.