Calcule a massa da esfera x^2+y^2+z^2 <= 1 supondo que a densidade no ponto (x, y, z) é igual à distância deste ponto à origem.
(Dica: A massa é m=integral triplaB d(x, y, z) d V, sendo que a densidade é d(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 (distância de (x, y, z) à origem). A região é B=(rho, theta, phi) mid 0 <= theta <= 2 pi, 0 <= rho <= 1,0 <= phi <= pi. As integrais podem ser resolvidas separadamente. A resposta é pi.)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma esfera definida por , ou seja, uma esfera de raio 1 centrada na origem. A densidade em cada ponto dessa esfera é igual à distância desse ponto até a origem. Nosso objetivo é calcular a massa dessa esfera usando conceitos de cálculo integral, especificamente integrais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a densidade está definida. A densidade d(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2 em um ponto é a distância desse ponto à origem. A fórmula para a distância até a origem é dada por:
Como estamos trabalhando com uma esfera de raio 1, essa distância varia de 0 a 1.

Passo 3

Para calcular a massa m = integral triplaB d(x, y, z) , dV da esfera, usamos a fórmula da massa em coordenadas cartesianas:
Aqui, é a região da esfera onde . Porém, resolver essa integral em coordenadas cartesianas pode ser complicado, então vamos mudar para coordenadas esféricas.

Passo 4

Nas coordenadas esféricas, os pontos são representados por , onde:
  • é a distância até a origem,
  • é o ângulo no plano xy, e
  • é o ângulo em relação ao eixo z.
A vantagem das coordenadas esféricas é que a densidade se torna simplesmente , já que .

Passo 5

A região 0 <= rho <= 1, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= phi <= pi em coordenadas esféricas é definida por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dtheta , dphi
O volume diferencial em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 6

Substituindo a densidade e o volume diferencial na integral da massa, temos:
m = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 rho cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Isso simplifica para:
m = integral0^2pi dtheta integral0^pi sinphi , dphi integral0^1 rho^3 , drho

Passo 7

Vamos resolver as integrais uma por uma:
  1. Integral em integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 14 :
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = 2
  1. Integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
  1. Integral em :

Passo 8

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
m = 2pi times 2 times 14 = pi

Resposta

A massa da esfera é .

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