Calcule. integral triplaB x y z d x d y d z onde B é o paralelepípedo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 e 1 <= z <= 2; (Resp.: 3 / 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaB x y z , dx , dy , dz, onde B é um paralelepípedo definido por 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1 e 1 <= z <= 2. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Ela serve para calcular o volume abaixo de uma função f(x,y,z) dentro de um determinado espaço tridimensional. No nosso caso, a função é f(x,y,z) = x y z.

Passo 3

Para calcular a integral tripla, precisamos integrar a função f(x,y,z) em relação a x, depois y e depois z, dentro dos limites fornecidos. Ou seja:
integral triplaB x y z , dx , dy , dz = integralz=1^2 integraly=0^1 integralx=0^2 x y z , dx , dy , dz

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a x:
integralx=0^2 x y z , dx
Como y e z são constantes em relação a x, podemos tratar y z como constantes:
y z integral0^2 x , dx = y z [ x^22 ]0^2 = y z ( 42 - 0 ) = y z times 2 = 2 y z

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y:
integraly=0^1 2 y z , dy = 2 z integral0^1 y , dy = 2 z [ y^22 ]0^1 = 2 z ( 12 - 0 ) = 2 z times 12 = z

Passo 6

Por fim, integramos em relação a z:
integralz=1^2 z , dz = [ z^22 ]1^2 = ( 42 - 12 ) = 2 - 12 = 32

Resposta

A integral tripla integral triplaB x y z , dx , dy , dz é igual a 32.

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