Calcule o volume do conjunto B de todos (x, y, z) tais que x <= z <= 1 - y^2, x >= 0 e y ≥ 0. (Dica: Ver Guidorizzi, vol. 3. Observe que teremos o plano z = x e a superfície z = 1 - y^2 formando a região B lembrando que olhamos apenas para o primeiro octante. Além disso, a projeção da região é dada por x = 1 - y^2. Desenhe a região no plano! Em seguida, aplique a fórmula estudada em aula para integrais triplas. Para a região de integração no plano, note que temos uma variação de x de 0 a 1 - y^2 e a variação de y é de 0 a 1 pois para x = 0 em x = 1 - y^2 temos y = 1 pois estamos no primeiro quadrante. A resposta é 4 / 15.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do conjunto definido pelas condições , e . Esse problema envolve o conteúdo de integrais triplas na matéria de cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e configurar a integral tripla corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos lidando. Temos duas superfícies que limitam :
  1. Plano : Esse é um plano inclinado onde aumenta junto com .
  2. Superfície : Essa é uma parábola invertida em relação ao eixo .
Estamos olhando apenas para o primeiro octante, ou seja, onde e . A projeção dessa região no plano é dada por , o que significa que varia de 0 a 1 (porque quando , ).

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração para a nossa integral tripla. Sabendo que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 0 até , temos:
Para , ele varia entre e :

Passo 4

Com os limites definidos, montamos a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Resposta

O volume do conjunto é .

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