Calcule o volume do conjunto
de todos
tais que
,
e
. (Dica: Ver Guidorizzi, vol. 3. Observe que teremos o plano
e a superfície
formando a região
lembrando que olhamos apenas para o primeiro octante. Além disso, a projeção da região é dada por
. Desenhe a região no plano! Em seguida, aplique a fórmula estudada em aula para integrais triplas. Para a região de integração no plano, note que temos uma variação de
de 0 a
e a variação de
é de 0 a 1 pois para
temos
pois estamos no primeiro quadrante. A resposta é
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do conjunto
definido pelas condições
,
e
. Esse problema envolve o conteúdo de integrais triplas na matéria de cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e configurar a integral tripla corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos lidando. Temos duas superfícies que limitam
:
- Plano
: Esse é um plano inclinado onde aumenta junto com . - Superfície
: Essa é uma parábola invertida em relação ao eixo .
Estamos olhando apenas para o primeiro octante, ou seja, onde
e
. A projeção dessa região no plano
é dada por
, o que significa que
varia de 0 a 1 (porque quando
,
).
Passo 3
Agora, vamos configurar os limites de integração para a nossa integral tripla. Sabendo que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de 0 até
, temos:
Para
, ele varia entre
e
:
Passo 4
Com os limites definidos, montamos a integral tripla para calcular o volume
:
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
O volume do conjunto
é
.