Use o teorema de Green para calcular integralC F cdot d r, onde
F(x, y)=(x e^pi x+y^2) i+(y e^y^2+x^2) j
e C consiste no arco da curva y=cos x de (-pi / 2,0) a (pi / 2,0) e o segmento de reta de (pi / 2,0) a (-pi / 2,0).
(Verifique a orientaçâo da curva antes de aplicar o teorema).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha F(x, y) = (x e^pi x + y^2) i + (y e^y^2 + x^2) j onde o campo vetorial é dado por:
A curva é composta por duas partes: primeiro, o arco da curva de até , e depois o segmento de reta que vai de de volta para . Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando a computação.

Passo 2

Antes de aplicar o Teorema de Green, é importante verificar a orientação da curva . O Teorema de Green funciona para curvas fechadas que são orientadas positivamente, ou seja, no sentido anti-horário. Vamos analisar:
  1. Primeiro, percorremos o arco de de a .
  2. Depois, retornamos pelo segmento de reta de para .
Desenhando isso, vemos que estamos percorrendo a região abaixo da curva de maneira anti-horária, o que significa que a orientação está correta para aplicar o Teorema de Green.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA delimitada por essa curva. O Teorema de Green é dado por:
P(x, y) = x e^pi x + y^2 e Q(x, y) = y e^y^2 + x^2
Onde . No nosso caso:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x ( y e^y^2 + x^2 ) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y ( x e^pi x + y^2 ) = 2y
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( 2x - 2y ) dA

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região integral duplaD (2x - 2y) dA = integralx = -pi2^pi2 integraly = 0^cos x (2x - 2y) dy , dx delimitada pela curva integral0^cos x (2x - 2y) dy = 2x integral0^cos x dy - 2 integral0^cos x y , dy = 2x (cos x) - 2 ( y^22 |0^cos x ) = 2x cos x - (cos^2 x) . A região está entre integral-pi2^pi2 ( 2x cos x - cos^2 x ) dx e integral 2x cos x , dx = 2x sin x - integral 2 sin x , dx = 2x sin x + 2 cos x , e para cada [ 2x sin x + 2 cos x ]-pi2^pi2 = (2 cdot pi2 cdot sin pi2 + 2 cos pi2) - (2 cdot -pi2 cdot sin -pi2 + 2 cos -pi2) = (pi cdot 1 + 0) - (-pi cdot -1 + 0) = pi - pi = 0 , integral-pi2^pi2 -cos^2 x , dx = -integral-pi2^pi2 cos^2 x , dx varia de -integral-pi2^pi2 1 + cos 2x2 , dx = -12 integral-pi2^pi2 (1 + cos 2x) , dx = -12 [ x + sin 2x2 ]-pi2^pi2 até -12 ( ( pi2 + sin pi2 ) - ( -pi2 + sin -pi2 ) ) = -12 ( pi2 - ( -pi2 ) ) = -12 cdot pi = -pi2 .
Então, a integral dupla fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituindo na integral externa:
Vamos resolver essa integral em duas partes:
Para a primeira parte, usamos integração por partes:
Seja então
então
Aplicando integração por partes:
Avaliando de a :
Para a segunda parte:
Usamos a identidade trigonométrica :
Calculando:

Resposta

A integral de linha é .

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