e consiste no arco da curva de a e o segmento de reta de a .
(Verifique a orientaçâo da curva antes de aplicar o teorema).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha onde o campo vetorial é dado por:
A curva é composta por duas partes: primeiro, o arco da curva de até , e depois o segmento de reta que vai de de volta para . Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando a computação.
Passo 2
Antes de aplicar o Teorema de Green, é importante verificar a orientação da curva . O Teorema de Green funciona para curvas fechadas que são orientadas positivamente, ou seja, no sentido anti-horário. Vamos analisar:
Primeiro, percorremos o arco de de a .
Depois, retornamos pelo segmento de reta de para .
Desenhando isso, vemos que estamos percorrendo a região abaixo da curva de maneira anti-horária, o que significa que a orientação está correta para aplicar o Teorema de Green.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. O Teorema de Green é dado por:
Onde . No nosso caso:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região delimitada pela curva . A região está entre e , e para cada , varia de até .
Então, a integral dupla fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituindo na integral externa:
Vamos resolver essa integral em duas partes:
Para a primeira parte, usamos integração por partes: