Calcule a onde D é a região delimitada pelas esferas e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla , onde é a região entre duas esferas: uma de raio 1 () e outra de raio 3 (). A matéria envolvida aqui é Cálculo em Coordenadas Esféricas, e vamos precisar usar a transformação para essas coordenadas para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nessa mudança, as coordenadas cartesianas são expressas como:
onde é a distância do ponto à origem, é o ângulo polar (do eixo z) e é o ângulo azimutal (no plano xy).
Passo 3
O próximo passo é entender o elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
Isso significa que, para integrar sobre a região , precisaremos multiplicar a função que estamos integrando por esse elemento de volume.
Passo 4
Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas. A função simplifica para:
porque . Então, nossa integral transforma-se em:
Passo 5
Agora, precisamos estabelecer os limites de integração. A região está entre as esferas de raio 1 e 3, então varia de 1 a 3. Para , que gira ao redor do eixo z, o limite é de 0 a . E para , que vai do eixo z até o plano xy, o limite é de 0 a . Assim, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em primeiro:
Isso porque a integral de de 0 a é igual a 2.
Passo 7
Em seguida, integramos em :
A integral de de 0 a simplesmente nos dá .
Passo 8
Agora, substituímos esses resultados na integral original: