Calcule a integral triplaD 1(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d x d y d z onde D é a região delimitada pelas esferas x^2+y^2+ z^2=1 e x^2+y^2+z^2=9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla , onde é a região entre duas esferas: uma de raio 1 ( ) e outra de raio 3 ( ). A matéria envolvida aqui é Cálculo em Coordenadas Esféricas, e vamos precisar usar a transformação para essas coordenadas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nessa mudança, as coordenadas cartesianas x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi são expressas como:
onde é a distância do ponto à origem, é o ângulo polar (do eixo z) e é o ângulo azimutal (no plano xy).

Passo 3

O próximo passo é entender o elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Isso significa que, para integrar sobre a região , precisaremos multiplicar a função que estamos integrando por esse elemento de volume.

Passo 4

Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas. A função 1r^3 simplifica para:
integral triplaD 1r^3 cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta = integral triplaD 1r sin phi , dr , dphi , dtheta
porque . Então, nossa integral transforma-se em:

Passo 5

Agora, precisamos estabelecer os limites de integração. A região integral1^3 integral0^2pi integral0^pi 1r sin phi , dphi , dtheta , dr está entre as esferas de raio 1 e 3, então varia de 1 a 3. Para , que gira ao redor do eixo z, o limite é de 0 a . E para , que vai do eixo z até o plano xy, o limite é de 0 a . Assim, nossa integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em integral0^pi sin phi , dphi = 2 primeiro:
Isso porque a integral de de 0 a é igual a 2.

Passo 7

Em seguida, integramos em integral0^2pi dtheta = 2pi :
A integral de de 0 a simplesmente nos dá .

Passo 8

Agora, substituímos esses resultados na integral original:
integral1^3 1r cdot 2 cdot 2pi , dr = 4pi integral1^3 1r , dr

Passo 9

A última etapa é resolver a integral em integral1^3 1r , dr = ln r |1^3 = ln 3 - ln 1 = ln 3 :
Como , ficamos apenas com .

Resposta

Então, o valor da integral é:
4pi ln 3

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