Calcule a onde D é a região delimitada pelas esferas e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla , onde é a região entre duas esferas: uma de raio 1 ( ) e outra de raio 3 ( ). A matéria envolvida aqui é Cálculo em Coordenadas Esféricas, e vamos precisar usar a transformação para essas coordenadas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nessa mudança, as coordenadas cartesianas são expressas como:
onde é a distância do ponto à origem, é o ângulo polar (do eixo z) e é o ângulo azimutal (no plano xy).

Passo 3

O próximo passo é entender o elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
Isso significa que, para integrar sobre a região , precisaremos multiplicar a função que estamos integrando por esse elemento de volume.

Passo 4

Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas. A função simplifica para:
porque . Então, nossa integral transforma-se em:

Passo 5

Agora, precisamos estabelecer os limites de integração. A região está entre as esferas de raio 1 e 3, então varia de 1 a 3. Para , que gira ao redor do eixo z, o limite é de 0 a . E para , que vai do eixo z até o plano xy, o limite é de 0 a . Assim, nossa integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:
Isso porque a integral de de 0 a é igual a 2.

Passo 7

Em seguida, integramos em :
A integral de de 0 a simplesmente nos dá .

Passo 8

Agora, substituímos esses resultados na integral original:

Passo 9

A última etapa é resolver a integral em :
Como , ficamos apenas com .

Resposta

Então, o valor da integral é:

Exercícios relacionados

Usando coordenadas polares calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas e
Use a mudança de coordenadas e e calcule a integral dupla
sobre a região do plano delimitada pelas retas e .
Prove que se for absolutamente convergente e para todo , entâo será divergente.
Se , prove que a serrie absolutamente convergente para todos os valores de .