Prove que se sumn=1^+infty un for absolutamente convergente e un neq 0 para todo n, entâo sumn=1^+infty 1|un| será divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se a série sumn=1^+infty un for absolutamente convergente e todo termo un for diferente de zero, então a série sumn=1^+infty 1|un| vai divergir. Vamos precisar entender o que é convergência absoluta e algumas propriedades das séries infinitas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Dizemos que uma série sumn=1^+infty un é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos sumn=1^+infty |un| também converge. Ou seja, independente do sinal dos termos, a soma dos seus valores absolutos dá um resultado finito.

Passo 3

Como a série é absolutamente convergente, sabemos que sumn=1^+infty |un| converge. Uma propriedade importante das séries converge é que o limite dos termos individuais deve ser zero. Portanto, limn to +infty |un| = 0.

Passo 4

Se limn to +infty |un| = 0, então o inverso desses valores, 1|un|, tende ao infinito. Ou seja, limn to +infty 1|un| = +infty.

Passo 5

Para uma série sumn=1^+infty an convergir, uma condição necessária (aunque não suficiente) é que limn to +infty an = 0. No nosso caso, vimos que limn to +infty 1|un| = +infty, que não é zero. Portanto, a série sumn=1^+infty 1|un| não satisfaz essa condição e, consequentemente, não pode convergir.

Resposta

A série sumn=1^+infty 1|un| é divergente.

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