Prove que se
for absolutamente convergente e
para todo
, entâo
será divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se a série
for absolutamente convergente e todo termo
for diferente de zero, então a série
vai divergir. Vamos precisar entender o que é convergência absoluta e algumas propriedades das séries infinitas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Dizemos que uma série
é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos
também converge. Ou seja, independente do sinal dos termos, a soma dos seus valores absolutos dá um resultado finito.
Passo 3
Como a série é absolutamente convergente, sabemos que
converge. Uma propriedade importante das séries converge é que o limite dos termos individuais deve ser zero. Portanto,
.
Passo 4
Se
, então o inverso desses valores,
, tende ao infinito. Ou seja,
.
Passo 5
Para uma série
convergir, uma condição necessária (aunque não suficiente) é que
. No nosso caso, vimos que
, que não é zero. Portanto, a série
não satisfaz essa condição e, consequentemente, não pode convergir.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Calcule a
onde D é a região delimitada pelas esferas
e
Usando coordenadas polares calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas
e
Se
, prove que a serrie
absolutamente convergente para todos os valores de
.
Prove que se
for absolutamente convergente, entâo
será convergente.