Prove que se for absolutamente convergente e para todo , entâo será divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se a série for absolutamente convergente e todo termo for diferente de zero, então a série vai divergir. Vamos precisar entender o que é convergência absoluta e algumas propriedades das séries infinitas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Dizemos que uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Ou seja, independente do sinal dos termos, a soma dos seus valores absolutos dá um resultado finito.

Passo 3

Como a série é absolutamente convergente, sabemos que converge. Uma propriedade importante das séries converge é que o limite dos termos individuais deve ser zero. Portanto, .

Passo 4

Se , então o inverso desses valores, , tende ao infinito. Ou seja, .

Passo 5

Para uma série convergir, uma condição necessária (aunque não suficiente) é que . No nosso caso, vimos que , que não é zero. Portanto, a série não satisfaz essa condição e, consequentemente, não pode convergir.

Resposta

A série é divergente.

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Prove que se for absolutamente convergente, entâo será convergente.