Use a mudança de coordenadas e e calcule a integral dupla
sobre a região do plano delimitada pelas retas e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de sobre uma região delimitada por quatro retas no plano . A parada é usar uma mudança de coordenadas onde e . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas na integral dupla e calcular o determinante jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar e em termos de e :
Com isso, precisamos encontrar o determinante jacobiano que é usado para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Esse jacobiano nos diz como a área se transforma na mudança de coordenadas.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a região y = 2x, y = 2x - 2, y = x, y = x + 1 nas novas coordenadas . As retas que delimitam são:
Substituindo e nessas equações para encontrar as correspondentes em e :
simplifica para
simplifica para
simplifica para
simplifica para
Então, na nova coordenada, está delimitada por , , e .
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral dupla usando as novas coordenadas:
integral duplaD xy , dx , dy = integral duplaD' (u - v)(2u - v) cdot |J| , du , dv
Como integral duplaD' (u - v)(2u - v) , du , dv , a integral fica: