Use a mudança de coordenadas e e calcule a integral dupla
sobre a região do plano delimitada pelas retas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de sobre uma região delimitada por quatro retas no plano . A parada é usar uma mudança de coordenadas onde e . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas na integral dupla e calcular o determinante jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar e em termos de e :
Com isso, precisamos encontrar o determinante jacobiano que é usado para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Esse jacobiano nos diz como a área se transforma na mudança de coordenadas.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a região nas novas coordenadas . As retas que delimitam são:
Substituindo e nessas equações para encontrar as correspondentes em e :
  1. simplifica para
  2. simplifica para
  3. simplifica para
  4. simplifica para
Então, na nova coordenada, está delimitada por , , e .

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral dupla usando as novas coordenadas:
Como , a integral fica:
Expandindo a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração para e :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Calculando em :
Subtraindo em , que dá 0, então temos:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Calculando em :
Em , tudo é 0, então a integral total é 1.

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Dada a integral dupla .
(b) Inverta a ordem de integração;
Dada a integral dupla .
(a) Esboce o gráfico da região de integração D;
Usando coordenadas polares calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas e
Calcule a onde D é a região delimitada pelas esferas e