Use a mudança de coordenadas x=u-v e y=2 u-v e calcule a integral dupla
integral duplaD x y d x d y
sobre a região D do plano x y delimitada pelas retas y=2 x, y=2 x-2, y=x e y=x+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de sobre uma região delimitada por quatro retas no plano . A parada é usar uma mudança de coordenadas onde e . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas na integral dupla e calcular o determinante jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar x = u - v e y = 2u - v em termos de J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v e partial xpartial u = 1, partial xpartial v = -1 :
partial ypartial u = 2, partial ypartial v = -1
J = 1 & -1 2 & -1 = (1)(-1) - (-1)(2) = -1 + 2 = 1
Com isso, precisamos encontrar o determinante jacobiano que é usado para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Esse jacobiano nos diz como a área se transforma na mudança de coordenadas.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a região y = 2x, y = 2x - 2, y = x, y = x + 1 nas novas coordenadas . As retas que delimitam são:
Substituindo e nessas equações para encontrar as correspondentes em e :
  1. simplifica para
  2. simplifica para
  3. simplifica para
  4. simplifica para
Então, na nova coordenada, está delimitada por , , e .

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral dupla usando as novas coordenadas:
integral duplaD xy , dx , dy = integral duplaD' (u - v)(2u - v) cdot |J| , du , dv
Como integral duplaD' (u - v)(2u - v) , du , dv , a integral fica:
(u - v)(2u - v) = 2u^2 - uv - 2uv + v^2 = 2u^2 - 3uv + v^2
Expandindo a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração para u varia de 0 a 1 e v varia de 0 a 2 :
integral0^1 integral0^2 (2u^2 - 3uv + v^2) , dv , du
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 (2u^2 - 3uv + v^2) , dv = 2u^2 v - 3u2v^2 + 13v^3 |0^2 :
2u^2 cdot 2 - 3u2 cdot 4 + 13 cdot 8 = 4u^2 - 6u + 83
Calculando em 4u^2 - 6u + 83 :
Subtraindo em , que dá 0, então temos:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^1 (4u^2 - 6u + 83) du = 43u^3 - 3u^2 + 83u |0^1 :
43 - 3 + 83 = 4 + 83 - 3 = 123 - 3 = 4 - 3 = 1
Calculando em :
Em , tudo é 0, então a integral total é 1.

Resposta

A integral dupla vale .

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