Usando coordenadas polares calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais e mudança de coordenadas para polares. Vamos precisar entender como converter essas funções de coordenadas cartesianas para polares e depois integrar para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares,
e
. Nosso objetivo é reescrever as duas equações dadas em termos de
e
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira curva:
. Substituindo
e
por suas expressões polares:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação:
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Isso nos dá duas soluções:
ou
. Ignoramos
pois representa apenas a origem, então a equação polar da primeira curva é:
Passo 5
Agora, vamos transformar a segunda curva
para coordenadas polares. Substituindo
e
:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Isso implica que:
Portanto, a segunda curva em coordenadas polares é a reta
.
Passo 6
Agora, identificamos os limites de integração. A interseção das curvas ocorre quando
e
. Vamos determinar o intervalo de
onde
está abaixo de
.
Observando o gráfico, vemos que isso acontece de
até
.
Passo 7
A fórmula para calcular a área
em coordenadas polares entre
e
é:
No nosso caso,
e
(já que a segunda curva é uma reta que delimita
).
Passo 8
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 10
Integrando termo a termo:
Passo 11
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é:
Resposta
A área da região é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Use a mudança de coordenadas
e
e calcule a integral dupla
sobre a região
do plano
delimitada pelas retas
e
.
Dada a integral dupla
.
(b) Inverta a ordem de integração;
(b) Inverta a ordem de integração;
Calcule a
onde D é a região delimitada pelas esferas
e
Prove que se
for absolutamente convergente e
para todo
, entâo
será divergente.