Usando coordenadas polares calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região delimitada pelas curvas e usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais e mudança de coordenadas para polares. Vamos precisar entender como converter essas funções de coordenadas cartesianas para polares e depois integrar para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, e . Nosso objetivo é reescrever as duas equações dadas em termos de e .

Passo 3

Vamos começar com a primeira curva: . Substituindo e por suas expressões polares:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

Vamos rearranjar a equação:
Fatorando :
Sabemos que , então:
Isso nos dá duas soluções: ou . Ignoramos pois representa apenas a origem, então a equação polar da primeira curva é:

Passo 5

Agora, vamos transformar a segunda curva para coordenadas polares. Substituindo e :
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Isso implica que:
Portanto, a segunda curva em coordenadas polares é a reta .

Passo 6

Agora, identificamos os limites de integração. A interseção das curvas ocorre quando e . Vamos determinar o intervalo de onde está abaixo de .
Observando o gráfico, vemos que isso acontece de até .

Passo 7

A fórmula para calcular a área em coordenadas polares entre e é:
No nosso caso, e (já que a segunda curva é uma reta que delimita ).

Passo 8

Substituindo na fórmula:

Passo 9

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 10

Integrando termo a termo:

Passo 11

Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é:

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Use a mudança de coordenadas e e calcule a integral dupla
sobre a região do plano delimitada pelas retas e .
Dada a integral dupla .
(b) Inverta a ordem de integração;
Calcule a onde D é a região delimitada pelas esferas e
Prove que se for absolutamente convergente e para todo , entâo será divergente.