Se |r|<1, prove que a serrie sumn=1^+infty r^n sen n t in absolutamente convergente para todos os valores de t.

Passo 1

Neste exercício, precisamos provar que a série é absolutamente convergente para todo valor de sumn=1^+infty r^n sen(n t), dado que t. Vamos utilizar conceitos de séries geométricas e o teste de comparação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a soma dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, precisamos analisar a série .

Passo 3

Observamos que a função seno tem valores limitados: para qualquer valor de |sen(n t)| <= 1 e para todo t. Portanto, podemos dizer que:

Passo 4

Agora, consideramos a série geométrica sumn=1^+infty |r|^n. Sabemos que uma série geométrica converge se a razão |r| é menor que 1, o que já é nosso caso ( |r| < 1). Portanto, a série sumn=1^+infty |r|^n é convergente.

Passo 5

Como e a série |r^n sen(n t)| <= |r|^n converge, podemos aplicar o teste de comparação. Esse teste nos diz que se uma série menor em valor absoluto converge, então a série original também converge absolutamente.

Resposta

Portanto, a série é absolutamente convergente para todo valor de sumn=1^+infty r^n sen(n t), desde que t.

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