Se
, prove que a serrie
absolutamente convergente para todos os valores de
.
Passo 1
Neste exercício, precisamos provar que a série é absolutamente convergente para todo valor de
, dado que
. Vamos utilizar conceitos de séries geométricas e o teste de comparação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a soma dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, precisamos analisar a série .
Passo 3
Observamos que a função seno tem valores limitados: para qualquer valor de
e para todo
. Portanto, podemos dizer que:
Passo 4
Agora, consideramos a série geométrica
. Sabemos que uma série geométrica converge se a razão
é menor que 1, o que já é nosso caso (
). Portanto, a série
é convergente.
Passo 5
Como e a série
converge, podemos aplicar o teste de comparação. Esse teste nos diz que se uma série menor em valor absoluto converge, então a série original também converge absolutamente.
Resposta
Portanto, a série é absolutamente convergente para todo valor de
, desde que
.
Exercícios relacionados
Prove que se
for absolutamente convergente e
para todo
, entâo
será divergente.
Calcule a
onde D é a região delimitada pelas esferas
e
Prove que se
for absolutamente convergente, entâo
será convergente.
Dada a série
. (a) Mostre que o teste da razão falha para essa série. (b) Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.