Calcule integral triplaD(x^2+y^2+z^2) d V, onde D é a a região limitada superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=16 e inferiormente peloo cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Então, o problema que temos aqui é calcular a integral tripla de sobre a região . Essa região é limitada, por cima, pela esfera de raio 4 dada por e, por baixo, pelo cone . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos, já que tanto a esfera quanto o cone têm simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas. As relações são:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z, e dV = r , dr , dtheta , dz
Aqui, é a distância do ponto ao eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura.

Passo 3

Agora, expressamos o integrando x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + z^2 em coordenadas cilíndricas. Sabemos que integral triplaD (r^2 + z^2) , r , dz , dr , dtheta , então:
Portanto, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para r^2 + r^2 = 16 Rightarrow 2r^2 = 16 Rightarrow r^2 = 8 Rightarrow r = 2raiz2 , e .
  • Para , como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a .
  • Para , observamos que o cone e a esfera . Substituindo na equação da esfera:
Portanto, varia de a .
  • Para , para um valor fixo de , varia do cone até a esfera. Do cone, , e da esfera, .

Passo 5

Agora, montamos a integral com os limites determinados:
integral0^2pi integral0^2raiz2 integralr^raiz16 - r^2 (r^2 + z^2) , r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, integramos em relação a integralr^raiz16 - r^2 (r^2 + z^2) , dz = r^2 [ z ]r^raiz16 - r^2 + [ z^33 ]r^raiz16 - r^2 :
= r^2 ( raiz16 - r^2 - r ) + 13 ( (16 - r^2)^3/2 - r^3 )
Calculando:

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a e depois a . Porém, devido à complexidade da expressão, é mais prático usar simetria e simplificações antes de integrar diretamente.
Após realizar as integrações necessárias (que envolvem termos com , e ), obtemos o resultado final.

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados