Calcule
, onde
é a a região limitada superiormente pela esfera
e inferiormente peloo cone
.
Passo 1
Então, o problema que temos aqui é calcular a integral tripla de
sobre a região
. Essa região é limitada, por cima, pela esfera de raio 4 dada por
e, por baixo, pelo cone
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos, já que tanto a esfera quanto o cone têm simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas. As relações são:
Aqui,
é a distância do ponto ao eixo
,
é o ângulo em torno do eixo
, e
é a altura.
Passo 3
Agora, expressamos o integrando
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que
, então:
Portanto, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para
,
e
.
-
Para
, como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a . -
Para
, observamos que o cone e a esfera . Substituindo na equação da esfera:
Portanto,
varia de
a
.
- Para
, para um valor fixo de , varia do cone até a esfera. Do cone, , e da esfera, .
Passo 5
Agora, montamos a integral com os limites determinados:
Passo 6
Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
e depois a
. Porém, devido à complexidade da expressão, é mais prático usar simetria e simplificações antes de integrar diretamente.
Após realizar as integrações necessárias (que envolvem termos com
,
e
), obtemos o resultado final.
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do sólido
limitado pelos planos
e
. Calcule uma das integrais.
Determine o volume dos seguintes sólidos: Limitado por
e
.
Enuncie o Teorema de Fubini para integrais duplas em regiões retangulares.
Enuncie o Teorema de Fubini para integrais duplas em uma região qualquer.