Calcule , onde é a a região limitada superiormente pela esfera e inferiormente peloo cone .

Passo 1

Então, o problema que temos aqui é calcular a integral tripla de sobre a região . Essa região é limitada, por cima, pela esfera de raio 4 dada por e, por baixo, pelo cone . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos, já que tanto a esfera quanto o cone têm simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas. As relações são:
Aqui, é a distância do ponto ao eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura.

Passo 3

Agora, expressamos o integrando em coordenadas cilíndricas. Sabemos que , então:
Portanto, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para , e .
  • Para , como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a .
  • Para , observamos que o cone e a esfera . Substituindo na equação da esfera:
Portanto, varia de a .
  • Para , para um valor fixo de , varia do cone até a esfera. Do cone, , e da esfera, .

Passo 5

Agora, montamos a integral com os limites determinados:

Passo 6

Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, integramos em relação a :
Calculando:

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a e depois a . Porém, devido à complexidade da expressão, é mais prático usar simetria e simplificações antes de integrar diretamente.
Após realizar as integrações necessárias (que envolvem termos com , e ), obtemos o resultado final.

Resposta

A integral tripla vale .

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Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do sólido limitado pelos planos e . Calcule uma das integrais.
Determine o volume dos seguintes sólidos: Limitado por e .
Enuncie o Teorema de Fubini para integrais duplas em regiões retangulares.
Enuncie o Teorema de Fubini para integrais duplas em uma região qualquer.