Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do sólido W limitado pelos planos y + z = 1, y = x, x = 0 e z = 0. Calcule uma das integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as seis integrais triplas iteradas que representam o volume do sólido limitado pelos planos , , e . Depois, vamos calcular uma dessas integrais. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral múltiplo, especificamente integrais triplas, para determinar o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada uma das variáveis , e . Vamos analisar os planos que limitam o sólido:
  • : Esse é o plano xy, ou seja, onde é zero.
  • : Podemos reescrever isso como , que nos dá o limite superior para .
  • : Isso relaciona e .
  • : Isso define o limite inferior para .
Vamos identificar os limites para cada variável:
  1. Para :
  2. Para : Como e , precisamos determinar o intervalo de . Quando , temos . Quando e , . Então, .
  3. Para : Como e , varia de a . Portanto, .

Passo 3

Agora que temos os limites de integração, vamos escrever as seis integrais triplas iteradas correspondentes às diferentes ordens de integração. As seis ordens possíveis são:
Vamos montar cada uma delas com os limites que identificamos.

Passo 4

Primeira Integral:
Segunda Integral:
Terceira Integral:
Quarta Integral:
Quinta Integral:
Sexta Integral:

Passo 5

Agora vamos calcular uma dessas integrais. Vamos escolher a quinta integral para facilitar. A integral é:
Vamos resolver passo a passo:
  1. Integrar em relação a :
  1. Integrar em relação a :
  1. Integrar em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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