Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do sólido
limitado pelos planos
e
. Calcule uma das integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as seis integrais triplas iteradas que representam o volume do sólido
limitado pelos planos
,
,
e
. Depois, vamos calcular uma dessas integrais. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral múltiplo, especificamente integrais triplas, para determinar o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada uma das variáveis
,
e
. Vamos analisar os planos que limitam o sólido:
-
: Esse é o plano xy, ou seja, onde é zero. -
: Podemos reescrever isso como , que nos dá o limite superior para . -
: Isso relaciona e . -
: Isso define o limite inferior para .
Vamos identificar os limites para cada variável:
- Para
: - Para
: Como e , precisamos determinar o intervalo de . Quando , temos . Quando e , . Então, . - Para
: Como e , varia de a . Portanto, .
Passo 3
Agora que temos os limites de integração, vamos escrever as seis integrais triplas iteradas correspondentes às diferentes ordens de integração. As seis ordens possíveis são:
Vamos montar cada uma delas com os limites que identificamos.
Passo 4
Primeira Integral:
Segunda Integral:
Terceira Integral:
Quarta Integral:
Quinta Integral:
Sexta Integral:
Passo 5
Agora vamos calcular uma dessas integrais. Vamos escolher a quinta integral
para facilitar. A integral é:
Vamos resolver passo a passo:
- Integrar em relação a
:
- Integrar em relação a
:
- Integrar em relação a
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.