Determine o volume dos seguintes sólidos: Limitado por z = x^2 + y^2 + 4, x = 0, y = 0, z = 0 e x + y = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume juntos! O enunciado pede para determinar o volume de um sólido limitado pelas superfícies , , , e pela reta . Para isso, vamos usar integrais duplas, já que estamos lidando com uma região no plano e uma função que descreve a altura desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fronteiras no plano . As condições e indicam que estamos no primeiro quadrante, onde e são positivos. A reta define a linha que limita nossa região de integração. Então, nossa área de integração é o triângulo no primeiro quadrante limitado por , e .

Passo 3

Agora, para encontrar o volume, precisamos integrar a função que descreve a altura sobre essa área. A função dada é . Então, o volume pode ser calculado pela integral dupla:
Onde é a região triangular que mencionamos.

Passo 4

Vamos configurar os limites de integração. Podemos integrar primeiro em de até , e depois em de até . Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em :
Substituindo os limites:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Agora, integramos essa expressão em de a :

Passo 8

Calculando os valores:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados