Determine o volume dos seguintes sólidos: Limitado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume juntos! O enunciado pede para determinar o volume de um sólido limitado pelas superfícies , , , e pela reta . Para isso, vamos usar integrais duplas, já que estamos lidando com uma região no plano e uma função que descreve a altura desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fronteiras no plano . As condições e indicam que estamos no primeiro quadrante, onde e são positivos. A reta define a linha que limita nossa região de integração. Então, nossa área de integração é o triângulo no primeiro quadrante limitado por , e .
Passo 3
Agora, para encontrar o volume, precisamos integrar a função que descreve a altura sobre essa área. A função dada é . Então, o volume pode ser calculado pela integral dupla:
Onde é a região triangular que mencionamos.
Passo 4
Vamos configurar os limites de integração. Podemos integrar primeiro em de até , e depois em de até . Assim, a integral fica: