Calcule integral triplaE 11+(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d V, onde E é a região no interior da esfera centrada na origem de raio 2 que está abaixo de z=-raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral tripla sobre uma região , que é o interior de uma esfera de raio 2 centrada na origem, mas só a parte que está abaixo da superfície . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente em coordenadas esféricas, já que a região tem simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas para esféricas porque isso simplifica bastante nossa vida quando lidamos com esferas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta,
y = rho sinphi sintheta,
z = rho cosphi
Onde:
  • é a distância da origem,
  • é o ângulo com o eixo z,
  • é o ângulo no plano xy.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. A condição 0 <= rho <= 2 está dentro da esfera de raio 2, então 0 <= theta <= 2pi varia de 0 a 2:
rho cosphi <= -rho sinphi Rightarrow cosphi <= -sinphi
A variável tanphi >= 1 Rightarrow phi >= 3pi4 percorre toda a circunferência:
Agora, para , sabemos que estamos abaixo de . Reescrevendo isso em coordenadas esféricas, fica:
Dividindo ambos os lados por (e lembrando que é negativo nessa região), obtemos:
Então, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral na forma das coordenadas esféricas. O elemento de volume dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é dado por:
11 + rho^3
E o integrando integral triplaE 11 + rho^3 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta fica:
Então, nossa integral tripla fica:

Passo 5

Vamos separar a integral em três partes, já que as variáveis são independentes:
integral0^2pi dtheta times integral3pi4^pi sinphi , dphi times integral0^2 rho^21 + rho^3 , drho
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 7

Segunda integral:
integral3pi4^pi sinphi , dphi = -cosphi |3pi4^pi = -cospi + cos(3pi4) = 1 - (-raiz22) = 1 + raiz22

Passo 8

Terceira integral:
integral0^2 rho^21 + rho^3 , drho
Fazendo uma substituição 13 integral1^9 1u , du = 13 ln|u| |1^9 = 13 ln 9 = 23 ln 3 , temos ou . Assim:

Passo 9

Agora, juntando tudo:
2pi times (1 + raiz22) times 23 ln 3 = 4pi3 (1 + raiz22) ln 3
Simplificando:
4pi3 times 2 + raiz22 ln 3 = 2pi3 (2 + raiz2) ln 3

Resposta

integral triplaE 11+(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d V = 2pi3 (2 + raiz2) ln 3

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