Calcule , onde é a região no interior da esfera centrada na origem de raio 2 que está abaixo de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral tripla sobre uma região , que é o interior de uma esfera de raio 2 centrada na origem, mas só a parte que está abaixo da superfície . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente em coordenadas esféricas, já que a região tem simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas para esféricas porque isso simplifica bastante nossa vida quando lidamos com esferas. Nas coordenadas esféricas, temos:
Onde:
  • é a distância da origem,
  • é o ângulo com o eixo z,
  • é o ângulo no plano xy.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. A condição está dentro da esfera de raio 2, então varia de 0 a 2:
A variável percorre toda a circunferência:
Agora, para , sabemos que estamos abaixo de . Reescrevendo isso em coordenadas esféricas, fica:
Dividindo ambos os lados por (e lembrando que é negativo nessa região), obtemos:
Então, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral na forma das coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
E o integrando fica:
Então, nossa integral tripla fica:

Passo 5

Vamos separar a integral em três partes, já que as variáveis são independentes:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral:

Passo 7

Segunda integral:

Passo 8

Terceira integral:
Fazendo uma substituição , temos ou . Assim:

Passo 9

Agora, juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

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Calcule
Uma placa de de espessura sofre uma redução sequencial para as seguintes espessuras ( em mm ): 0, . Calcule a deformação linear no sentido da espessura da chapa em cada um dos três passes, utilizando:
b) Deformação verdadeira
Um eixo tubular com diâmetro interno de e diâmetro externo de será usado para transmitir de potência. Determine a frequência de rotação do eixo de modo que a tensão de cisalhamento não ultrapasse .
O tensor T representa um estado de tensão, em MPa, num plano xy:
(b) Quais são as tensões normais e de cisalhamento em um plano orientado a com relação ao eixo y no sentido anti-horário deste elemento de tensão?