Calcule , onde é a região no interior da esfera centrada na origem de raio 2 que está abaixo de .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral tripla sobre uma região , que é o interior de uma esfera de raio 2 centrada na origem, mas só a parte que está abaixo da superfície . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente em coordenadas esféricas, já que a região tem simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas para esféricas porque isso simplifica bastante nossa vida quando lidamos com esferas. Nas coordenadas esféricas, temos:
Onde:
é a distância da origem,
é o ângulo com o eixo z,
é o ângulo no plano xy.
Passo 3
Vamos definir os limites de integração. A condição está dentro da esfera de raio 2, então varia de 0 a 2:
A variável percorre toda a circunferência:
Agora, para , sabemos que estamos abaixo de . Reescrevendo isso em coordenadas esféricas, fica:
Dividindo ambos os lados por (e lembrando que é negativo nessa região), obtemos:
Então, varia de a .
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral na forma das coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
E o integrando fica:
Então, nossa integral tripla fica:
Passo 5
Vamos separar a integral em três partes, já que as variáveis são independentes:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 6
Primeira integral:
Passo 7
Segunda integral:
Passo 8
Terceira integral:
integral0^2 rho^21 + rho^3 , drho
Fazendo uma substituição 13 integral1^9 1u , du = 13 ln|u| |1^9 = 13 ln 9 = 23 ln 3 , temos ou . Assim:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
2pi times (1 + raiz22) times 23 ln 3 = 4pi3 (1 + raiz22) ln 3