O tensor T representa um estado de tensão, em MPa, num plano xy:
(b) Quais são as tensões normais e de cisalhamento em um plano orientado a 45^circ com relação ao eixo y no sentido anti-horário deste elemento de tensão?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tensor de tensões que descreve as tensões em um plano . A pergunta é: Quais são as tensões normais e de cisalhamento em um plano inclinado a em relação ao eixo no sentido anti-horário deste elemento de tensão?
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente a transformação de tensões em planos inclinados. Precisaremos utilizar fórmulas que nos permitam calcular as novas componentes de tensão quando o plano é rotacionado em relação aos eixos principais.
Passo 2
Primeiro, identificamos as componentes do tensor de tensões fornecido:
T = 50 & -10 & 0 -10 & -70 & 0 0 & 0 & 0 , MPa
Aqui, , e . As demais componentes relacionadas ao eixo são zero e não influenciam neste cálculo específico.
Passo 3
Vamos calcular as tensões normais ( sigman = sigmaxx + sigmayy2 + sigmaxx - sigmayy2 cos 2theta + sigmaxy sin 2theta ) e de cisalhamento ( tau = -sigmaxx - sigmayy2 sin 2theta + sigmaxy cos 2theta ) no plano inclinado a . Usaremos as seguintes fórmulas de transformação de tensões para um ângulo :
Onde .
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos nas fórmulas. Primeiro, calculamos 2theta = 90^circ e cos 90^circ = 0 para sin 90^circ = 1 :
sigman = 50 + (-70)2 + 50 - (-70)2 times 0 + (-10) times 1
sigman = -202 + 1202 times 0 - 10
sigman = -10 + 0 - 10 = -20 , MPa
Agora, substituímos na fórmula da tensão normal:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula da tensão de cisalhamento: