O tensor T representa um estado de tensão, em MPa, num plano xy:
T=(ccc 50 & -10 & 0 -10 & -70 & 0 0 & 0 & 0 )
(b) Quais são as tensões normais e de cisalhamento em um plano orientado a 45^circ com relação ao eixo y no sentido anti-horário deste elemento de tensão?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tensor de tensões que descreve as tensões em um plano . A pergunta é: Quais são as tensões normais e de cisalhamento em um plano inclinado a em relação ao eixo no sentido anti-horário deste elemento de tensão?
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente a transformação de tensões em planos inclinados. Precisaremos utilizar fórmulas que nos permitam calcular as novas componentes de tensão quando o plano é rotacionado em relação aos eixos principais.

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes do tensor de tensões fornecido:
T = 50 & -10 & 0 -10 & -70 & 0 0 & 0 & 0 , MPa
Aqui, , e . As demais componentes relacionadas ao eixo são zero e não influenciam neste cálculo específico.

Passo 3

Vamos calcular as tensões normais ( sigman = sigmaxx + sigmayy2 + sigmaxx - sigmayy2 cos 2theta + sigmaxy sin 2theta ) e de cisalhamento ( tau = -sigmaxx - sigmayy2 sin 2theta + sigmaxy cos 2theta ) no plano inclinado a . Usaremos as seguintes fórmulas de transformação de tensões para um ângulo :
Onde .

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos nas fórmulas. Primeiro, calculamos 2theta = 90^circ e cos 90^circ = 0 para sin 90^circ = 1 :
sigman = 50 + (-70)2 + 50 - (-70)2 times 0 + (-10) times 1
sigman = -202 + 1202 times 0 - 10
sigman = -10 + 0 - 10 = -20 , MPa
Agora, substituímos na fórmula da tensão normal:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = -50 - (-70)2 times 1 + (-10) times 0
tau = -1202 times 1 + 0
tau = -60 + 0 = -60 , MPa

Resposta

As tensões no plano inclinado a são:
  • Tensão normal ( ):
  • Tensão de cisalhamento ( ):

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