Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla envolvendo a função cosseno de . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como manipular os limites de integração e usar uma substituição para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a área que estamos integrando. A integral é de até e, para cada , vai de até . Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrações. Isso significa que vamos primeiro integrar em e depois em .

Passo 3

Ao trocar a ordem, precisamos ajustar os limites. Agora, vai de 0 até , e para cada , vai de 0 até . Então, nossa integral fica assim:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . A função é constante em relação a , então a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 6

Agora, a integral de é fácil de calcular. Integrando, temos:

Resposta

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