Calcule integral0^pi integraly2^pi2 cos (x^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla envolvendo a função cosseno de . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como manipular os limites de integração e usar uma substituição para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a área que estamos integrando. A integral é de até e, para cada , vai de até . Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrações. Isso significa que vamos primeiro integrar em e depois em .

Passo 3

Ao trocar a ordem, precisamos ajustar os limites. Agora, integral0^pi2 integral0^2x cos(x^2) , dy , dx vai de 0 até , e para cada , vai de 0 até . Então, nossa integral fica assim:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral0^pi2 cos(x^2) cdot (2x - 0) , dx = integral0^pi2 2x cos(x^2) , dx . A função é constante em relação a , então a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja integral0^pi^24 cos(u) , du , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 6

Agora, a integral de sin(u) |0^pi^24 = sin(pi^24) - sin(0) = sin(pi^24) é fácil de calcular. Integrando, temos:

Resposta

sin(dfracpi^24)

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