Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla envolvendo a função cosseno de . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como manipular os limites de integração e usar uma substituição para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a área que estamos integrando. A integral é de até e, para cada , vai de até . Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrações. Isso significa que vamos primeiro integrar em e depois em .
Passo 3
Ao trocar a ordem, precisamos ajustar os limites. Agora, vai de 0 até , e para cada , vai de 0 até . Então, nossa integral fica assim:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a . A função é constante em relação a , então a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja , então . Isso simplifica a integral para:
Passo 6
Agora, a integral de é fácil de calcular. Integrando, temos: