Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla envolvendo a função cosseno de
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como manipular os limites de integração e usar uma substituição para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a área que estamos integrando. A integral é de
até
e, para cada
,
vai de
até
. Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrações. Isso significa que vamos primeiro integrar em
e depois em
.
Passo 3
Ao trocar a ordem, precisamos ajustar os limites. Agora,
vai de 0 até
, e para cada
,
vai de 0 até
. Então, nossa integral fica assim:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
. A função
é constante em relação a
, então a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja
, então
. Isso simplifica a integral para:
Passo 6
Agora, a integral de
é fácil de calcular. Integrando, temos: