Um eixo tubular com diâmetro interno de 30 mm e diâmetro externo de 42 mm será usado para transmitir 90 kW de potência. Determine a frequência de rotação do eixo de modo que a tensão de cisalhamento não ultrapasse 50 MPa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um eixo tubular que vai transmitir uma potência de 90 kW. O diâmetro interno é de 30 mm e o externo de 42 mm. A gente precisa descobrir a frequência de rotação desse eixo para que a tensão de cisalhamento não passe de 50 MPa. Vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre torção em eixos circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o Momento Polar de Inércia (J) do eixo tubular. O J é importante porque ele influencia como o eixo resiste à torção. Para um eixo tubular, a fórmula do J é:
J = pi32 ( do^4 - di^4 )
Onde:
  • J = pi32 ( 42^4 - 30^4 ) , mm^4 é o diâmetro externo
  • é o diâmetro interno
Substituindo os valores:
Vamos calcular isso depois.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a tensão de cisalhamento ( tau = T cdot roJ ) com o torque ( T = tau cdot Jro ). A fórmula da tensão máxima de cisalhamento em um eixo circular é:
Onde:
  • é o raio externo ( )
Queremos que não ultrapasse 50 MPa, então vamos isolar o torque ( ):

Passo 4

Agora, vamos relacionar a potência ( P = T cdot omega ) com o torque ( P = T cdot 2pi n60 ) e a velocidade angular ( n = 60P2pi T ). A fórmula é:
Sabendo que , onde é a frequência de rotação em rotações por minuto (rpm), substituímos na equação:
Queremos isolar :

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo! Primeiro, calculamos o J:
J = pi32 ( 42^4 - 30^4 ) approx 3,141632 (3111696 - 810000) approx 3,141632 times 2301696 approx 225,928 times 10^4 , mm^4
Convertendo para m⁴:
J approx 225,928 times 10^-8 , m^4
Calculando o torque T = 50 times 10^6 , Pa cdot 225,928 times 10^-8 , m^421 , mm/2 times 10^-3 approx 50 times 10^6 times 225,928 times 10^-80,021 approx 53,75 , Nm :
n = 60 times 90 times 10^32 pi times 53,75 approx 5,4 times 10^6337,32 approx 16034 , rpm
Agora, calculamos a frequência :

Resposta

A frequência de rotação do eixo deve ser aproximadamente 16.034 rpm para que a tensão de cisalhamento não ultrapasse 50 MPa.

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