Determine um fator integrante e resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um fator integrante e resolver a equação diferencial
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Uma equação diferencial na forma
é exata se satisfizer:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Comparando:
Como as derivadas parciais não são iguais, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado na equação original, torne-a exata.
Passo 4
Assumindo que o fator integrante dependa apenas de
, ou seja,
, a condição para exatidão após multiplicação é:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação diferencial para
:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Podemos simplificar ignorando a constante multiplicativa
:
Passo 6
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Fatorando
:
Fazendo a substituição
,
, o que transforma a integral em:
Separando a integral:
Voltando a
:
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando o lado direito:
Igualando:
Para que isso seja válido para todos
e
,
, então
.
Resposta
A solução da equação diferencial é
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Determinar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto (
) e tal que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angular
.
Se as constantes; taxa de cresciemento:
e
e as medidas do cfeito de interação sāo:
e
, entāo diga como fica a relação entre
e
.
Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima do triângulo com vértices
e
.
Calcule
onde
é a interseção de
e
.