Determine um fator integrante e resolva a equação

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um fator integrante e resolver a equação diferencial
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Uma equação diferencial na forma é exata se satisfizer:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Comparando:
Como as derivadas parciais não são iguais, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado na equação original, torne-a exata.

Passo 4

Assumindo que o fator integrante dependa apenas de , ou seja, , a condição para exatidão após multiplicação é:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação diferencial para :
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Podemos simplificar ignorando a constante multiplicativa :

Passo 6

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Fatorando :
Fazendo a substituição , , o que transforma a integral em:
Separando a integral:
Voltando a :

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando o lado direito:
Igualando:
Para que isso seja válido para todos e , , então .

Resposta

A solução da equação diferencial é
onde é uma constante.

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