Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima do triângulo com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície dada por
e acima de um triângulo com vértices nos pontos (1,1), (4,1) e (3,2). Para isso, vamos precisar usar o conceito de integrais duplas, que serve pra calcular volumes sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites da nossa região triangular no plano xy. Temos os vértices em (1,1), (4,1) e (3,2). Para definir a região de integração, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo.
Passo 3
Vamos encontrar as equações das retas:
- Entre (1,1) e (4,1): Essa é uma linha horizontal, então a equação é
. - Entre (4,1) e (3,2): A inclinação é
, então a equação é que simplifica para . - Entre (3,2) e (1,1): A inclinação é
, então a equação é que simplifica para .
Passo 4
Agora, determinamos os limites de integração. Observando os vértices, x varia de 1 a 4. Para cada valor de x entre 1 e 4, y varia de
até a menor das duas funções superiores:
para
e
para
.
Passo 5
Vamos dividir a integral em duas partes devido à mudança na função limite superior de y:
- Para
de 1 a 3:
- Para
de 3 a 4:
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em y:
Calculando os limites:
Simplificando e integrando em x, obtemos um valor.
Passo 7
Agora, resolvemos a segunda integral:
Integrando em y:
Calculando os limites:
Simplificando e integrando em x, obtemos outro valor.
Passo 8
Somamos os resultados das duas integrais para obter o volume total.
Resposta
O volume do sólido é 18 unidades cúbicas.
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Determine um fator integrante e resolva a equação
Determinar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto (
) e tal que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angular
.
Calcule
onde
é a interseção de
e
.
Utilize mudança de variáveis apropriada para calcular
onde
é a região do primeiro quadrante contida no círculo
.