Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima do triângulo com vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície dada por e acima de um triângulo com vértices nos pontos (1,1), (4,1) e (3,2). Para isso, vamos precisar usar o conceito de integrais duplas, que serve pra calcular volumes sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da nossa região triangular no plano xy. Temos os vértices em (1,1), (4,1) e (3,2). Para definir a região de integração, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo.

Passo 3

Vamos encontrar as equações das retas:
  1. Entre (1,1) e (4,1): Essa é uma linha horizontal, então a equação é .
  2. Entre (4,1) e (3,2): A inclinação é , então a equação é que simplifica para .
  3. Entre (3,2) e (1,1): A inclinação é , então a equação é que simplifica para .

Passo 4

Agora, determinamos os limites de integração. Observando os vértices, x varia de 1 a 4. Para cada valor de x entre 1 e 4, y varia de até a menor das duas funções superiores: para e para .

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes devido à mudança na função limite superior de y:
  1. Para de 1 a 3:
  1. Para de 3 a 4:

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em y:
Calculando os limites:
Simplificando e integrando em x, obtemos um valor.

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda integral:
Integrando em y:
Calculando os limites:
Simplificando e integrando em x, obtemos outro valor.

Passo 8

Somamos os resultados das duas integrais para obter o volume total.

Resposta

O volume do sólido é 18 unidades cúbicas.

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