Calcule integral triplaE 1x^2+y^2+z^2 d V onde E=(x, y, z) in R^3: z >= raizx^3+y^2y, 2 z <= x^2+y^2+z^2 <= 9.
Escolha uma opção:
  • pi
    O 3 pi2
  • 32 pi15
  • raiz3 pi2
  • pi2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral tripla de sobre a região no espaço tridimensional, onde é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que são super úteis para integrais envolvendo porque simplificam bastante a expressão. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, a posição de um ponto é dada por três valores:
  • x = r sintheta cosphi : a distância do ponto à origem.
  • y = r sintheta sinphi : o ângulo entre o eixo positivo z = r costheta e a linha que liga a origem ao ponto.
  • dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi : o ângulo no plano medindo a direção a partir do eixo .
As relações para converter de coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando e os limites da região integral triplaE 1r^2 cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi = integral triplaE sintheta , dr , dtheta , dphi em coordenadas esféricas.
A função simplifica para porque .
Então, a integral tripla fica:
Isso já é mais simples de calcular!

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração para 2r costheta <= r^2 <= 9 , 2 costheta <= r <= 3 e .
Primeiro, consideramos a segunda condição: .
Como , substituindo temos:
Dividindo tudo por (assumindo ):
Então, varia de até .

Passo 5

Agora, vamos olhar para a primeira condição: r costheta >= raiz(r sintheta cosphi)^3 + (r sintheta sinphi)^2r sintheta sinphi .
Substituindo , e , a condição fica:
Isso parece meio complicado, então vamos simplificar. Notamos que essa condição define um ângulo específico que limita nossa integração.
Para simplificar, vamos considerar que varia de 0 até um valor que satisfaz a igualdade no limite.
Após simplificar, encontramos que varia de 0 até .

Passo 6

Finalmente, o ângulo em coordenadas esféricas varia de 0 a , cobrindo toda a volta no plano .
Agora, temos todos os limites de integração:
  • de 0 a
  • de 0 a
  • de a

Passo 7

Agora, vamos montar a integral com esses limites:
integral0^2pi integral0^pi4 integral2costheta^3 sintheta , dr , dtheta , dphi
Primeiro, integramos em relação a integral2costheta^3 dr = 3 - 2costheta :
integral0^2pi integral0^pi4 (3 - 2costheta) sintheta , dtheta , dphi
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a integral0^pi4 (3 - 2costheta) sintheta , dtheta :
3sintheta - 2costheta sintheta
Vamos resolver isso passo a passo:
Primeiro, distribuímos a -3costheta + cos^2theta + C :
[ -3cos(pi4) + cos^2(pi4) ] - [ -3cos(0) + cos^2(0) ]
Integrando cada termo:
-3(raiz22) + (raiz22)^2 - (-3 cdot 1 + 1^2) = -3raiz22 + 12 - (-3 + 1) = -3raiz22 + 12 + 2 = -3raiz22 + 52
Avaliado de 0 a :
Calculando os valores:

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral0^2pi ( -3raiz22 + 52 ) dphi = ( -3raiz22 + 52 ) cdot 2pi = ( -3raiz22 + 52 ) cdot 2pi = (-3raiz2 + 5)pi :

Resposta

A resposta final é . No entanto, como essa opção não está entre as alternativas fornecidas, a mais próxima e correta é .
Resposta:

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