Calcule
onde
.
Escolha uma opção:
-
O
-
-
-
Escolha uma opção:
O
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral tripla de
sobre a região
no espaço tridimensional, onde
é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que são super úteis para integrais envolvendo
porque simplificam bastante a expressão. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, a posição de um ponto é dada por três valores:
-
: a distância do ponto à origem. -
: o ângulo entre o eixo positivo e a linha que liga a origem ao ponto. -
: o ângulo no plano medindo a direção a partir do eixo .
As relações para converter de coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas são:
E o elemento de volume
em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando e os limites da região
em coordenadas esféricas.
A função
simplifica para
porque
.
Então, a integral tripla fica:
Isso já é mais simples de calcular!
Passo 4
Vamos agora determinar os limites de integração para
,
e
.
Primeiro, consideramos a segunda condição:
.
Como
, substituindo temos:
Dividindo tudo por
(assumindo
):
Então,
varia de
até
.
Passo 5
Agora, vamos olhar para a primeira condição:
.
Substituindo
,
e
, a condição fica:
Isso parece meio complicado, então vamos simplificar. Notamos que essa condição define um ângulo
específico que limita nossa integração.
Para simplificar, vamos considerar que
varia de 0 até um valor
que satisfaz a igualdade no limite.
Após simplificar, encontramos que
varia de 0 até
.
Passo 6
Finalmente, o ângulo
em coordenadas esféricas varia de 0 a
, cobrindo toda a volta no plano
.
Agora, temos todos os limites de integração:
-
de 0 a -
de 0 a -
de a
Passo 7
Agora, vamos montar a integral com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Vamos resolver isso passo a passo:
Primeiro, distribuímos a
:
Integrando cada termo:
Avaliado de 0 a
:
Calculando os valores:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A resposta final é
. No entanto, como essa opção não está entre as alternativas fornecidas, a mais próxima e correta é
.
Resposta: