Passo 1
Vamos calcular a integral de linha
, onde
é a curva definida por
para
, orientada no sentido decrescente de
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha e o Teorema de Green. Vamos precisar usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre uma região.
Passo 2
Primeiro, observamos que a curva
é aberta, ou seja, não forma um caminho fechado. O Teorema de Green só pode ser aplicado a curvas fechadas, então precisamos fechar essa curva. Para isso, vamos adicionar uma linha reta que conecta os pontos finais de
.
Passo 3
Vamos definir a curva fechada
que consiste na curva
original mais a linha reta
que vai de
para
. Agora,
é uma curva fechada adequada para aplicar o Teorema de Green.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, temos:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Passo 6
Substituindo na integral dupla:
Passo 7
Portanto, a integral sobre a curva fechada
é zero. Mas queremos a integral sobre a curva
aberta. A integral sobre
é a soma das integrais sobre
e
:
Passo 8
Na linha reta
,
, então os termos da integral ficam:
Mas em
,
porque
é constante, então a integral sobre
é zero.
Passo 9
Portanto, temos:
Resposta
A integral
é igual a
.