Calcule integralC -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y em que C é a curva definida por y^2=2(x+2), -2 <= x <= 2, orientada no sentido decrescente de y. Obs. ^1
[1]

  1. ^1 Observe que C é uma curva aberta. Qual é a estratégia para utilizar o Teorema de Green nesse caso? ↩︎

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde é a curva definida por para , orientada no sentido decrescente de . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha e o Teorema de Green. Vamos precisar usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre uma região.

Passo 2

Primeiro, observamos que a curva é aberta, ou seja, não forma um caminho fechado. O Teorema de Green só pode ser aplicado a curvas fechadas, então precisamos fechar essa curva. Para isso, vamos adicionar uma linha reta que conecta os pontos finais de .

Passo 3

Vamos definir a curva fechada que consiste na curva original mais a linha reta que vai de para . Agora, é uma curva fechada adequada para aplicar o Teorema de Green.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, temos:
ointC' -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy = integral duplaD ( partialpartial x ( xx^2+y^2 ) - partialpartial y ( -yx^2+y^2 ) ) , dx , dy

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
partialpartial x ( xx^2+y^2 ) = (x^2+y^2) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2
partialpartial y ( -yx^2+y^2 ) = -(x^2+y^2) - (-y)(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2-y^2+2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2

Passo 6

Substituindo na integral dupla:
integral duplaD ( -x^2+y^2(x^2+y^2)^2 - -x^2+y^2(x^2+y^2)^2 ) , dx , dy = integral duplaD 0 , dx , dy = 0

Passo 7

Portanto, a integral sobre a curva fechada integralC -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy + integralL -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy = 0 é zero. Mas queremos a integral sobre a curva aberta. A integral sobre é a soma das integrais sobre e :

Passo 8

Na linha reta -0x^2+0 , dx + xx^2+0 , dy = 0 + 1x , dy , , então os termos da integral ficam:
Mas em , porque é constante, então a integral sobre é zero.

Passo 9

Portanto, temos:
integralC -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy = 0

Resposta

A integral é igual a .

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