Calcule os limites. Justifique. lim x +infty(x+2x+1)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x +infty(x+2x+1)^x. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao estudo de limites que envolvem funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e algumas técnicas envolvendo logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Temos x+2x+1. Podemos reescrever isso assim:
x+2x+1 = x + 1 + 1x + 1 = 1 + 1x + 1
Então, nosso limite fica:
limx to +infty (1 + 1x + 1)^x

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites:
limn to infty (1 + an)^n = e^a
Aqui, a é uma constante. No nosso caso, vemos que a expressão dentro do limite se parece com isso, onde a = 1 e n = x + 1. No entanto, para que a propriedade se aplique diretamente, precisamos ajustar um pouco.

Passo 4

Vamos reescrever o limite considerando n = x + 1. Quando x to +infty, também n to +infty. Assim, temos:
limn to +infty (1 + 1n)^n - 1
Isso porque x = n - 1, então substituímos na expressão.

Passo 5

Agora, separamos a potência:
(1 + 1n)^n - 1 = (1 + 1n)^n cdot (1 + 1n)^-1
Sabemos que limn to +infty (1 + 1n)^n = e e que limn to +infty (1 + 1n)^-1 = 1.

Passo 6

Multiplicando os limites:
e cdot 1 = e
Portanto, o limite original é igual a e.

Resposta

O limite é igual a e.

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