Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior
, orientada com o normal apontando para fora. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular o fluxo do campo vetorial
através da semiesfera superior
usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Onde:
-
é o fluxo de através da superfície . -
é a divergência de . -
é o volume dentro de .
Passo 3
No nosso caso,
é apenas a semiesfera superior, não uma superfície fechada. Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos fechar a superfície adicionando a base do hemisfério, que é o disco no plano
. Vamos chamar essa base de
. Assim, a superfície fechada total será
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
.
Passo 5
Calculando cada derivada:
-
: Derivando em relação a: -
: Derivando em relação a: -
: Derivando em relação a:
Passo 6
Somando as derivadas para obter a divergência:
Passo 7
Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume
da semiesfera. Usaremos coordenadas esféricas para facilitar a integração, onde:
-
-
-
- O elemento de volume é
Como estamos lidando com a semiesfera superior de raio 1, os limites são:
-
de 0 a 1 -
de 0 a -
de 0 a
Passo 8
Expressando a divergência em coordenadas esféricas:
Pois
.
Passo 9
Agora, a integral do volume fica:
Simplificando:
Passo 10
Calculando cada integral separadamente:
Multiplicando tudo:
Passo 11
Agora, segundo o Teorema da Divergência:
Mas queremos apenas o fluxo através da semiesfera
, não da superfície fechada
. Então, precisamos subtrair o fluxo através da base
.
Passo 12
Vamos calcular o fluxo através da base
. Na base,
, e o vetor normal
aponta para baixo (oposto ao sentido positivo de
). Porém, como queremos o normal apontando para fora da semiesfera, na base o normal será
.
No ponto
:
Então:
Passo 13
O fluxo através da base
é:
Usando coordenadas polares para integrar no disco
:
Calculando:
Então:
Passo 14
Agora, voltando ao Teorema da Divergência:
Isolando o fluxo que queremos:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da semiesfera superior é
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
-
O -
-
-
Calcule os limites. Justifique.
Encontre a derivada da função.
Calcule as seguintes integrais