Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior , orientada com o normal apontando para fora. Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular o fluxo do campo vetorial através da semiesfera superior usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Onde:
  • é o fluxo de através da superfície .
  • é a divergência de .
  • é o volume dentro de .

Passo 3

No nosso caso, é apenas a semiesfera superior, não uma superfície fechada. Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos fechar a superfície adicionando a base do hemisfério, que é o disco no plano . Vamos chamar essa base de . Assim, a superfície fechada total será .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Onde .

Passo 5

Calculando cada derivada:
  1. :
    Derivando em relação a :
  2. :
    Derivando em relação a :
  3. :
    Derivando em relação a :

Passo 6

Somando as derivadas para obter a divergência:

Passo 7

Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume da semiesfera. Usaremos coordenadas esféricas para facilitar a integração, onde:
  • O elemento de volume é
Como estamos lidando com a semiesfera superior de raio 1, os limites são:
  • de 0 a 1
  • de 0 a
  • de 0 a

Passo 8

Expressando a divergência em coordenadas esféricas:
Pois .

Passo 9

Agora, a integral do volume fica:
Simplificando:

Passo 10

Calculando cada integral separadamente:
Multiplicando tudo:

Passo 11

Agora, segundo o Teorema da Divergência:
Mas queremos apenas o fluxo através da semiesfera , não da superfície fechada . Então, precisamos subtrair o fluxo através da base .

Passo 12

Vamos calcular o fluxo através da base . Na base, , e o vetor normal aponta para baixo (oposto ao sentido positivo de ). Porém, como queremos o normal apontando para fora da semiesfera, na base o normal será .
No ponto :
Então:

Passo 13

O fluxo através da base é:
Usando coordenadas polares para integrar no disco :
Calculando:
Então:

Passo 14

Agora, voltando ao Teorema da Divergência:
Isolando o fluxo que queremos:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da semiesfera superior é .

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Calcule onde .
Escolha uma opção:

  • O
Calcule os limites. Justifique.
Encontre a derivada da função.
Calcule as seguintes integrais