Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
e a missão é encontrar a sua derivada. Isso envolve o conteúdo de derivadas de funções compostas, então vamos usar a regra da cadeia. Vamos precisar entender derivadas de funções trigonométricas como cosseno, seno, tangente, além de funções polinomiais e radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra da cadeia. A função está aninhada assim: cosseno de uma raiz quadrada que envolve o seno de uma tangente que, por sua vez, envolve
. Então, temos várias camadas que vamos precisar derivar passo a passo.
Passo 3
Começamos pela função externa:
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Mas como
também é uma função, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
, onde
. A derivada de
em relação a
é
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Então, substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos derivar
, onde
. A derivada de
em relação a
é
, e aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, precisamos derivar
. A derivada de
em relação a
é
, então aplicando a regra da cadeia:
E a derivada de
em relação a
é simplesmente
:
Passo 7
Agora, vamos juntar tudo. A derivada de
fica:
Passo 8
Substituindo isso na expressão anterior para
:
Passo 9
Finalmente, substituímos tudo de volta na expressão original para
:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior
, orientada com o normal apontando para fora. Resp.:
.
Calcule
onde
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
-
O -
-
-
Calcule as seguintes integrais
Transforme a equação
para coordenadas cartesianas e descreva o seu gráfico.