Variable density A solid is bounded on the top by the paraboloid z = r^2, on the bottom by the plane z = 0, and on the sides by the cylinder r = 1. Find the center of mass and the moment of inertia about the z-axis if the density is
delta(r, theta, z) = r.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede! Temos um sólido delimitado pelo paraboloide em cima, pelo plano embaixo, e lateralmente por um cilindro de raio . Queremos encontrar o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo . Vamos usar coordenadas cilíndricas e a densidade é dada por .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro de massa. Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas do centro de massa são dadas por:
onde é a massa total do sólido.

Passo 3

Observando a simetria do problema, vemos que o sólido é simétrico em relação ao eixo . Portanto, e serão ambos zero. Focaremos apenas em encontrar .

Passo 4

Calculando a massa total :
Aqui, nas coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Integrando em relação a :

Passo 6

Integrando em relação a :

Passo 7

Agora, vamos calcular :

Passo 8

Integrando em relação a :

Passo 9

Integrando em relação a :

Passo 10

Então, o centro de massa é .

Passo 11

Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo , dado por:

Passo 12

Integrando em relação a :

Passo 13

Integrando em relação a :

Resposta

O centro de massa do sólido é e o momento de inércia em relação ao eixo é .

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