Variable density A solid is bounded on the top by the paraboloid
, on the bottom by the plane
, and on the sides by the cylinder
. Find the center of mass and the moment of inertia about the
-axis if the density is
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede! Temos um sólido delimitado pelo paraboloide
em cima, pelo plano
embaixo, e lateralmente por um cilindro de raio
. Queremos encontrar o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo
. Vamos usar coordenadas cilíndricas e a densidade é dada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro de massa. Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas do centro de massa
são dadas por:
onde
é a massa total do sólido.
Passo 3
Observando a simetria do problema, vemos que o sólido é simétrico em relação ao eixo
. Portanto,
e
serão ambos zero. Focaremos apenas em encontrar
.
Passo 4
Calculando a massa total
:
Aqui,
nas coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Integrando em relação a
:
Passo 6
Integrando em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Passo 10
Então, o centro de massa é
.
Passo 11
Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
, dado por:
Passo 12
Integrando em relação a
:
Passo 13
Integrando em relação a
:
Resposta
O centro de massa do sólido é
e o momento de inércia em relação ao eixo
é
.