Calcule a integral
em que
é o sólido abaixo do paraboloide
e dentro do cilindro
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que pede para calcular
onde
é o sólido abaixo do paraboloide
e dentro do cilindro
. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam o manejo da simetria circular presente no problema.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
O cilindro
se torna
, ou seja,
. Isso nos dá o limite para
.
Passo 3
O paraboloide
em coordenadas cilíndricas fica
. Esse será o limite superior para
, já que estamos abaixo do paraboloide.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração:
-
varia de a , porque é positivo apenas nesse intervalo. - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
Passo 5
A integral em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui,
é a função integrada, e
é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Simplificando a expressão:
Passo 8
Para facilitar a integração, fazemos a divisão polinomial:
Então, a integral se torna:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Avaliando de
a
:
Passo 10
Simplificando a expressão acima e substituindo de volta na integral em
:
Isso resulta em termos que, após integração e simplificação cuidadosa, levam ao valor final da integral.
Isso resulta em termos que, após integração e simplificação cuidadosa, levam ao valor final da integral.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a seguinte integral
em que
é a região limitada pelas retas
e
e pela circunferência
, no terceiro quadrante. Resp.:
.
Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que
é a região no primeiro quadrante do plano
, acima da reta
e abaixo da circunferência
. Resp.:
.
Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que
é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas
e
e pela circunferência
. Resp.
.
Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.:
.