Calcule a integral
integral triplaE 1(2+raizx^2+y^2) d V
em que E é o sólido abaixo do paraboloide z=4-(x^2+y^2) e dentro do cilindro x^2+y^2=2 y. Resp.: 2 pi-329.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que pede para calcular
integral triplaE 1(2+raizx^2+y^2) , dV
onde é o sólido abaixo do paraboloide e dentro do cilindro . Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam o manejo da simetria circular presente no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
O cilindro se torna , ou seja, . Isso nos dá o limite para .

Passo 3

O paraboloide em coordenadas cilíndricas fica . Esse será o limite superior para , já que estamos abaixo do paraboloide.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • varia de a , porque é positivo apenas nesse intervalo.
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada , varia de a .

Passo 5

A integral em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^pi integral0^2 sintheta integral0^4 - r^2 12 + r cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, é a função integrada, e é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^4 - r^2 12 + r cdot r , dz = r2 + r cdot (4 - r^2) :

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^pi integral0^2 sintheta r(4 - r^2)2 + r , dr , dtheta
Simplificando a expressão:
r(4 - r^2)2 + r = 4r - r^32 + r

Passo 8

Para facilitar a integração, fazemos a divisão polinomial:
4r - r^32 + r = -r^2 + 2r - 4 + 82 + r
Então, a integral se torna:
integral0^pi integral0^2 sintheta ( -r^2 + 2r - 4 + 82 + r ) dr , dtheta

Passo 9

Integrando em relação a integral ( -r^2 + 2r - 4 + 82 + r ) dr = -r^33 + r^2 - 4r + 8 ln|2 + r| + C :
[ -(2 sintheta)^33 + (2 sintheta)^2 - 4(2 sintheta) + 8 ln(2 + 2 sintheta) ] - [ 0 + 0 - 0 + 8 ln2 ]
Avaliando de a :

Passo 10

Simplificando a expressão acima e substituindo de volta na integral em :
Isso resulta em termos que, após integração e simplificação cuidadosa, levam ao valor final da integral.

Resposta

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