Calcule a integral
em que é o sólido abaixo do paraboloide e dentro do cilindro . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que pede para calcular
onde é o sólido abaixo do paraboloide e dentro do cilindro . Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam o manejo da simetria circular presente no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
O cilindro se torna , ou seja, . Isso nos dá o limite para .

Passo 3

O paraboloide em coordenadas cilíndricas fica . Esse será o limite superior para , já que estamos abaixo do paraboloide.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • varia de a , porque é positivo apenas nesse intervalo.
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada , varia de a .

Passo 5

A integral em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, é a função integrada, e é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, a integral fica:
Simplificando a expressão:

Passo 8

Para facilitar a integração, fazemos a divisão polinomial:
Então, a integral se torna:

Passo 9

Integrando em relação a :
Avaliando de a :

Passo 10

Simplificando a expressão acima e substituindo de volta na integral em :
Isso resulta em termos que, após integração e simplificação cuidadosa, levam ao valor final da integral.

Resposta

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Calcule a seguinte integral
em que é a região limitada pelas retas e e pela circunferência , no terceiro quadrante. Resp.: .
Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que é a região no primeiro quadrante do plano , acima da reta e abaixo da circunferência . Resp.: .
Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla em que é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas e e pela circunferência . Resp. .
Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.: .