Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que é a região no primeiro quadrante do plano , acima da reta e abaixo da circunferência . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A região está no primeiro quadrante do plano , acima da reta e abaixo da circunferência . Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar e , usamos (a distância da origem) e (o ângulo com o eixo ). A transformação é dada por:
E a área elementar em coordenadas polares é .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A região está no primeiro quadrante, então vai de a . Mas também está acima da reta , que em coordenadas polares é . Portanto, varia de a .

Passo 4

O limite para é de 0 até o raio da circunferência, que é . Então, varia de 0 a 2.

Passo 5

Agora, vamos transformar a integral dada para coordenadas polares:
Aqui, usamos e substituímos por .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazemos uma substituição , então ou . A integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

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Resolva as integrais duplas:
. Resp.: 4040 .
(2 Pontos) , determine:
Em que direção tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?
Calcule a seguinte integral
em que é a região limitada pelas retas e e pela circunferência , no terceiro quadrante. Resp.: .
Calcule a integral
em que é o sólido abaixo do paraboloide e dentro do cilindro . Resp.: .