Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
integral duplaD e^x^2+y^2 d A
em que D é a região no primeiro quadrante do plano x y, acima da reta y=x e abaixo da circunferência x^2+y^2=4. Resp.: pi8(e^4-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A região está no primeiro quadrante do plano , acima da reta e abaixo da circunferência . Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar x = r costheta y = r sintheta e , usamos (a distância da origem) e (o ângulo com o eixo ). A transformação é dada por:
E a área elementar em coordenadas polares é .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A região está no primeiro quadrante, então vai de a . Mas também está acima da reta , que em coordenadas polares é . Portanto, varia de a .

Passo 4

O limite para é de 0 até o raio da circunferência, que é . Então, varia de 0 a 2.

Passo 5

Agora, vamos transformar a integral dada para coordenadas polares:
integral duplaD e^x^2+y^2 , dA = integraltheta=pi4^pi2 integralr=0^2 e^r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, usamos e substituímos por .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 e^r^2 cdot r , dr :
12 integral0^4 e^u , du = 12 [ e^u ]0^4 = 12 (e^4 - 1)
Fazemos uma substituição , então ou . A integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralpi4^pi2 12 (e^4 - 1) , dtheta = 12 (e^4 - 1) cdot ( pi2 - pi4 ) = 12 (e^4 - 1) cdot pi4 = pi8 (e^4 - 1)

Resposta

pi8 ( e^4 - 1 )

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