Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que
é a região no primeiro quadrante do plano
, acima da reta
e abaixo da circunferência
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A região
está no primeiro quadrante do plano
, acima da reta
e abaixo da circunferência
. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar
e
, usamos
(a distância da origem) e
(o ângulo com o eixo
). A transformação é dada por:
E a área elementar
em coordenadas polares é
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. A região
está no primeiro quadrante, então
vai de
a
. Mas também está acima da reta
, que em coordenadas polares é
. Portanto,
varia de
a
.
Passo 4
O limite para
é de 0 até o raio da circunferência, que é
. Então,
varia de 0 a 2.
Passo 5
Agora, vamos transformar a integral dada para coordenadas polares:
Aqui, usamos
e substituímos
por
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazemos uma substituição
, então
ou
. A integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva as integrais duplas:
. Resp.: 4040 .
(2 Pontos)
, determine:
Em que direção tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?
Em que direção
Calcule a seguinte integral
em que
é a região limitada pelas retas
e
e pela circunferência
, no terceiro quadrante. Resp.:
.
Calcule a integral
em que
é o sólido abaixo do paraboloide
e dentro do cilindro
. Resp.:
.