Calcule a seguinte integral
integral duplaD e^x^2 e^y^2 d A
em que D é a região limitada pelas retas y=raiz3 x e y=0 e pela circunferência x^2+y^2=4, no terceiro quadrante. Resp.: pi(e^4-1)6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral duplinha aí! O enunciado pede para calcular a integral sobre a região que está no terceiro quadrante, limitada pelas retas , e pela circunferência . Vamos usar integração em coordenadas polares pra facilitar, já que temos uma circunferência envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . No terceiro quadrante, e são negativos. A circunferência tem raio 2. A reta tem inclinação de , então em coordenadas polares, o ângulo vai de a .

Passo 3

Agora, transformamos a integral para coordenadas polares. Lembrando que , e . A função que vamos integrar é .

Passo 4

Então, a integral se transforma em:
integral duplaD e^x^2 e^y^2 , dA = integralpi^4pi3 integral0^2 e^r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 r e^r^2 , dr :
12 integral0^4 e^u , du = 12 [ e^u ]0^4 = 12 (e^4 - 1)
Fazemos uma substituição: seja , então ou . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integralpi^4pi3 dtheta = 4pi3 - pi = pi3 :

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:
12 (e^4 - 1) cdot pi3 = pi (e^4 - 1)6

Resposta

pi ( e^4 - 1 )6

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