Calcule a seguinte integral
em que é a região limitada pelas retas e e pela circunferência , no terceiro quadrante. Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral duplinha aí! O enunciado pede para calcular a integral sobre a região que está no terceiro quadrante, limitada pelas retas , e pela circunferência . Vamos usar integração em coordenadas polares pra facilitar, já que temos uma circunferência envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . No terceiro quadrante, e são negativos. A circunferência tem raio 2. A reta tem inclinação de , então em coordenadas polares, o ângulo vai de a .

Passo 3

Agora, transformamos a integral para coordenadas polares. Lembrando que , e . A função que vamos integrar é .

Passo 4

Então, a integral se transforma em:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazemos uma substituição: seja , então ou . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

Exercícios relacionados

Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que é a região no primeiro quadrante do plano , acima da reta e abaixo da circunferência . Resp.: .
Resolva as integrais duplas:
. Resp.: 4040 .
Calcule a integral
em que é o sólido abaixo do paraboloide e dentro do cilindro . Resp.: .
Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla em que é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas e e pela circunferência . Resp. .