Calcule a seguinte integral
em que
é a região limitada pelas retas
e
e pela circunferência
, no terceiro quadrante. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral duplinha aí! O enunciado pede para calcular a integral sobre a região
que está no terceiro quadrante, limitada pelas retas
,
e pela circunferência
. Vamos usar integração em coordenadas polares pra facilitar, já que temos uma circunferência envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. No terceiro quadrante,
e
são negativos. A circunferência
tem raio 2. A reta
tem inclinação de
, então em coordenadas polares, o ângulo
vai de
a
.
Passo 3
Agora, transformamos a integral para coordenadas polares. Lembrando que
,
e
. A função que vamos integrar é
.
Passo 4
Então, a integral se transforma em:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazemos uma substituição: seja
, então
ou
. Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
Exercícios relacionados
Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que
é a região no primeiro quadrante do plano
, acima da reta
e abaixo da circunferência
. Resp.:
.
Resolva as integrais duplas:
. Resp.: 4040 .
Calcule a integral
em que
é o sólido abaixo do paraboloide
e dentro do cilindro
. Resp.:
.
Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que
é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas
e
e pela circunferência
. Resp.
.