Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que
é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas
e
e pela circunferência
. Resp.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular
, onde a região
está no primeiro quadrante, limitada pelas retas
,
e pela circunferência
. Para isso, vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares e entender como expressar as funções e os limites nesses novos termos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. As relações entre coordenadas cartesianas
e polares
são:
Passo 3
Agora, vamos transformar a função e o elemento de área para coordenadas polares. A função dada é
. Substituindo:
O elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A região
está no primeiro quadrante, então
varia de
a
. A circunferência
corresponde a
. Portanto,
varia de
a
.
Passo 5
Com tudo isso, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a integral
em que
é o sólido abaixo do paraboloide
e dentro do cilindro
. Resp.:
.
Calcule a seguinte integral
em que
é a região limitada pelas retas
e
e pela circunferência
, no terceiro quadrante. Resp.:
.
Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.:
.
Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido
, limitado abaixo pelo plano
e acima pela esfera
.
.) Resp.:
.