Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla integral duplaD(x^2+y^2)^3 d A em que D é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas x=0 e y=0 e pela circunferência x^2+y^2=1. Resp. : pi16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular integral duplaD(x^2+y^2)^3 d A, onde a região D está no primeiro quadrante, limitada pelas retas x=0, y=0 e pela circunferência x^2+y^2=1. Para isso, vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares e entender como expressar as funções e os limites nesses novos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por (r, theta), onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x. As relações entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares (r, theta) são:
x = r costheta y = r sintheta

Passo 3

Agora, vamos transformar a função e o elemento de área para coordenadas polares. A função dada é f(x, y) = (x^2 + y^2)^3. Substituindo:
x^2 + y^2 = r^2 f(r, theta) = (r^2)^3 = r^6
O elemento de área em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A região D está no primeiro quadrante, então theta varia de 0 a pi2. A circunferência x^2 + y^2 = 1 corresponde a r = 1. Portanto, r varia de 0 a 1.

Passo 5

Com tudo isso, a integral dupla em coordenadas polares fica:
integral duplaD(x^2+y^2)^3 d A = integral0^pi2 integral0^1 r^6 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^1 r^7 , dr , dtheta
Vamos integrar primeiro em relação a r:
integral0^1 r^7 , dr = [r^88]0^1 = 18 - 0 = 18

Passo 6

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi2 18 , dtheta = 18 [theta]0^pi2 = 18 cdot pi2 = pi16

Resposta

pi16

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