Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla em que é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas e e pela circunferência . Resp. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular , onde a região está no primeiro quadrante, limitada pelas retas , e pela circunferência . Para isso, vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares e entender como expressar as funções e os limites nesses novos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde é a distância até a origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . As relações entre coordenadas cartesianas e polares são:

Passo 3

Agora, vamos transformar a função e o elemento de área para coordenadas polares. A função dada é . Substituindo:
O elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A região está no primeiro quadrante, então varia de a . A circunferência corresponde a . Portanto, varia de a .

Passo 5

Com tudo isso, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Vamos integrar primeiro em relação a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Resposta

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Calcule a integral
em que é o sólido abaixo do paraboloide e dentro do cilindro . Resp.: .
Calcule a seguinte integral
em que é a região limitada pelas retas e e pela circunferência , no terceiro quadrante. Resp.: .
Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.: .
Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido , limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera . .) Resp.: .