integral0^pi / 4 tg^5 x sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema de cálculo:
integral0^pi / 4 tan^5 x sec^2 x , dx
Isso faz parte da matéria de integrais, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Observamos que temos e . Sabemos que a derivada de é , então isso dá uma dica para nossa substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = tan x
Então, a derivada de dudx = sec^2 x Rightarrow du = sec^2 x , dx em relação a é:
Isso nos permite substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral0^pi / 4 tan^5 x sec^2 x , dx = integralu(0)^u(pi/4) u^5 , du
Agora, precisamos atualizar os limites de integração de acordo com nossa substituição:
u(0) = tan(0) = 0 e u(pi4) = tan(pi4) = 1
Então, a integral fica:
integral0^1 u^5 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^5 , du = u^66 + C :
u^66|0^1 = 1^66 - 0^66 = 16 - 0 = 16
Como estamos calculando uma integral definida, a constante não é necessária. Avaliamos a antiderivada nos limites de 0 a 1:

Resposta

16

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