integral0^1 x e^-x d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral definida . Esse tipo de integral envolve funções polinomiais multiplicadas por funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é integração por partes. É uma técnica que nos permite integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = e^-x , dx
Fizemos essa escolha porque a derivada de (que é simples) vai simplificar a integral que vai restar.

Passo 4

Agora, vamos calcular du = ddx(x) , dx = 1 , dx e v = integral e^-x , dx = -e^-x :
Aqui, integramos para encontrar .

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral0^1 x e^-x , dx = uv gr|0^1 - integral0^1 v , du
Substituindo = [ x (-e^-x) ]0^1 - integral0^1 (-e^-x) cdot 1 , dx , = -x e^-x gr|0^1 + integral0^1 e^-x , dx , :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular cada parte:
- x e^-x gr|0^1 = -(1)(e^-1) - [-(0)(e^0)] = -e^-1 - 0 = -e^-1
E a integral restante:
integral0^1 e^-x , dx = -e^-x gr|0^1 = -e^-1 + e^0 = -e^-1 + 1
Juntando tudo:
-e^-1 + (-e^-1 + 1) = -2e^-1 + 1

Resposta

O valor da integral é ou aproximadamente .

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