Calcule integral triplaE e^x^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2 d V, onde E é a região limitada pelas superfícies de equações x^2+y^2+z^2=1, z^2=3 x^2+3 y^2 e z^2=2 x^2+2 y^2. (Use coordenadas esféricas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
integral triplaE e^x^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2 , dV
onde é a região limitada pelas superfícies , e . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como transformar as equações para coordenadas esféricas e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
x = r sin theta cos phi y = r sin theta sin phi z = r cos theta
onde:
  • dV = r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo polar (entre o vetor posição e o eixo z),
  • é o ângulo azimutal (no plano xy a partir do eixo x).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Vamos transformar as superfícies que delimitam a região z^2r^2 = 3 ( x^2+y^2r^2 ) para coordenadas esféricas.
  1. Esfera cos^2 theta = 3 sin^2 theta Rightarrow tan theta = 1raiz3 :
    Em coordenadas esféricas, isso fica simplesmente cos^2 theta = 2 sin^2 theta Rightarrow tan theta = 1raiz2 , já que .
  2. Cone :
    Dividindo ambos os lados por , temos:
    Sabendo que e , isso se torna:
    Portanto, .
  3. Cone :
    Seguindo o mesmo processo:
    Assim, .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral no sistema esférico. O integrando é:
e^x^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2 = e^r^2r
Multiplicando pelo elemento de volume, temos:
e^r^2r cdot r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi = e^r^2 cdot r sin theta , dr , dtheta , dphi
Então, a integral fica:
integral triplaE e^x^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2 dV = integral0^2pi integral30^circ^35,26^circ integral0^1 e^r^2 cdot r sin theta , dr , dtheta , dphi

Passo 5

Vamos calcular a integral em etapas. Primeiro, a integral em integral0^1 e^r^2 cdot r , dr :
12 integral0^1 e^u , du = 12 ( e^1 - e^0 ) = e - 12
Fazemos uma substituição , então , ou seja, . A integral se transforma em:

Passo 6

Agora, a integral em integral30^circ^35,26^circ sin theta , dtheta :
-cos(35,26^circ) + cos(30^circ) = cos(30^circ) - cos(35,26^circ)
A integral de cos(30^circ) = raiz32 approx 0,8660 é cos(35,26^circ) approx 0,8165 , então:
0,8660 - 0,8165 = 0,0495
Calculando os valores:
Portanto:

Passo 7

Por fim, a integral em integral0^2pi dphi = 2pi :

Passo 8

Agora, juntando tudo:
integral triplaE e^x^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2 dV = ( e - 12 ) cdot 0,0495 cdot 2pi
Simplificando:
( e - 12 ) cdot 2pi cdot 0,0495 = (e - 1) cdot pi cdot 0,0495
Calculando numéricamente:
(e - 1) approx 1,7183
1,7183 cdot pi cdot 0,0495 approx 1,7183 cdot 0,1553 approx 0,2663

Resposta

A integral tripla vale aproximadamente .

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