Calcule , onde é a região limitada pelas superfícies de equações . (Use coordenadas esféricas)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
onde é a região limitada pelas superfícies , e . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como transformar as equações para coordenadas esféricas e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
onde:
dV = r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi é a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (entre o vetor posição e o eixo z),
é o ângulo azimutal (no plano xy a partir do eixo x).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Vamos transformar as superfícies que delimitam a região z^2r^2 = 3 ( x^2+y^2r^2 ) para coordenadas esféricas.