Mostre que para f(x, y) = raiz(x^2 + y^2) vale a equação de Laplace
f_xx(x, y) + f_yy(x, y) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que para a função a equação de Laplace é válida, ou seja:
Isso envolve cálculos de derivadas parciais segundas. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas de funções multivariáveis e como aplicar a equação de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . A função pode ser escrita como . Usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Vamos derivar em relação a :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

De forma similar, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Primeiro, a primeira derivada:
Agora, derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos somar e :

Resposta

Na verdade, houve um erro no cálculo final. Reavaliando, percebemos que a soma de e resulta em:
Mas para satisfazer a equação de Laplace, precisamos que essa soma seja igual a zero. No entanto, para , a soma das segundas derivadas não é zero, o que indica que a função não satisfaz a equação de Laplace em todos os pontos, exceto possivelmente em pontos onde e tendem a zero.

Nota Adicional

Parece que houve um mal-entendido na formulação da questão. A função não é harmônica (não satisfaz a equação de Laplace) em todo o seu domínio. A equação de Laplace é satisfeita por funções cuja soma das segundas derivadas parciais é zero, mas neste caso, nossa soma resultou em , que não é igual a zero.

Nota Final

Revise a questão ou os cálculos para garantir que a função e a equação estejam corretamente especificadas.

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Calcule o volume do sólido W definido como abaixo
W = {(x, y, z) em R^3 ; 0 <= z <= 1 - x^2 - y^2, x^2 + (y - 1)^2 <= 1} e x, y ≥ 0.
Calcule integral triplaE e^x^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2 d V, onde E é a região limitada pelas superfícies de equações x^2+y^2+z^2=1, z^2=3 x^2+3 y^2 e z^2=2 x^2+2 y^2. (Use coordenadas esféricas)
Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções:
f(x) = -3x + 4
Suponha que z esteja definida implicitamente como uma função de x e y pela equação F(x, y, z) = x * z^2 + y^2 * z + x * y - 1 = 0.
(a) Calcule Fx, Fy e Fz.