Mostre que para
vale a equação de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que para a função
a equação de Laplace é válida, ou seja:
Isso envolve cálculos de derivadas parciais segundas. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas de funções multivariáveis e como aplicar a equação de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. A função
pode ser escrita como
. Usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos derivar
em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
De forma similar, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Primeiro, a primeira derivada:
Agora, derivando
em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos somar
e
:
Resposta
Na verdade, houve um erro no cálculo final. Reavaliando, percebemos que a soma de
e
resulta em:
Mas para satisfazer a equação de Laplace, precisamos que essa soma seja igual a zero. No entanto, para
, a soma das segundas derivadas não é zero, o que indica que a função não satisfaz a equação de Laplace em todos os pontos, exceto possivelmente em pontos onde
e
tendem a zero.
Nota Adicional
Parece que houve um mal-entendido na formulação da questão. A função
não é harmônica (não satisfaz a equação de Laplace) em todo o seu domínio. A equação de Laplace é satisfeita por funções cuja soma das segundas derivadas parciais é zero, mas neste caso, nossa soma resultou em
, que não é igual a zero.
Nota Final
Revise a questão ou os cálculos para garantir que a função e a equação estejam corretamente especificadas.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido
definido como abaixo
e
.
Calcule
, onde
é a região limitada pelas superfícies de equações
. (Use coordenadas esféricas)
Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções:
Suponha que
esteja definida implicitamente como uma função de
e
pela equação
.
(a) Calcule e
.
(a) Calcule